数学已知f(x)=lg(x2+ax-a-1)
(1).若此函数的定义域为R，求a的取值范围；
(2).若此函数的值域为R，求a的取值范围；
(3).若此函数在(2,3)上有意义，求a的取值范围；
(4).若此函数的定义域在(2,3)上，求a的取值范围；
(5).若此函数在(2,3)上能成立，求a的取值范围；
(6).若此函数在(2,3)上是增函数，求a的取值范围；
(7).不等式f(x)>0对于x属于(2,3)恒成立，求a的取值范围。
解：
(1)x²+ax-a-1＞0恒成立, 则判别式＜0
即△=(a+2)²≥0, 所以x²+ax-a-1与x轴至少有一个交点。
没有符合条件的a值
(2)函数的值域为R说明x²+ax-a-1取遍所有非负值。
即判别式≥0, 由(1)知显然恒成立。
∴a∈R
(3)函数在(2,3)上有意义
g(x)=x²+ax-a-1=(x+a/2)²-(a²/4+a+1)
g(x)=(x-1)(x+a+1)
只要g(x)|min≥0即可
即x+a+1≥0 ==> x≥-1-a
∵x∈(2,3) ==> 2≥-1-a
∴a≥-3
(...全部
解：
(1)x²+ax-a-1＞0恒成立, 则判别式＜0
即△=(a+2)²≥0, 所以x²+ax-a-1与x轴至少有一个交点。
没有符合条件的a值
(2)函数的值域为R说明x²+ax-a-1取遍所有非负值。
即判别式≥0, 由(1)知显然恒成立。
∴a∈R
(3)函数在(2,3)上有意义
g(x)=x²+ax-a-1=(x+a/2)²-(a²/4+a+1)
g(x)=(x-1)(x+a+1)
只要g(x)|min≥0即可
即x+a+1≥0 ==> x≥-1-a
∵x∈(2,3) ==> 2≥-1-a
∴a≥-3
(4)定义域为(2,3), 即在(-∞,2]∪[3,+∞)上g(x)≤0
显然不可能。
故没有这样的实数a
(5)若此函数在(2,3)上能成立。 则g(x)在(2,3)上恒大于0
等价于满足下列两种情况之一即可
(i)对称轴在区间[2,3]内, 且g(-a/2)＞0
(ii)其对称轴不在区间[2,3]内且f(2),f(3)皆非负。
即
{2≤-a/2≤3
{g(-a/2)＞0
无解, 或
{g(2)≥0
{-a/2≤2
解得a≥-3
或
{g(3)≥0
{-a/2≥3
无解
故a∈[-3,+∞)
(6)显然g(x)的对称轴在区间[3,+∞), 且g(3)≥0
即
{g(3)≥0
{-a/2≥3
故a∈[-3,+∞)
(7)等价于g(x)≥1对于x∈[2,3]恒成立。
即h(x)=x²+ax-a-2≥0
即(x+a/2)²-(a²/4+a+2)≥0
由(6)易知-(a²/4+a+2)恒小于0
所以只要当x=2及x=3时成立即可
即h(2)≥0 且 h(3)≥0
即a≥-2 且 a≥-7/2
即a∈[-2,+∞)。
收起
