函数,其中.若函数在其定义域内是单调函数,求的取值范围.

数学已知f(x)=lg(x2+ax-a-1) (1).若此函数的定义域为R，求a的取值范围； (2).若此函数的值域为R，求a的取值范围； (3).若此函数在(2,3)上有意义，求a的取值范围； (4).若此函数的定义域在(2,3)上，求a的取值范围； (5).若此函数在(2,3)上能成立，求a的取值范围； (6).若此函数在(2,3)上是增函数，求a的取值范围； (7).不等式f(x)>0对于x属于(2,3)恒成立，求a的取值范围。

解： (1)x²+ax-a-1＞0恒成立, 则判别式＜0 即△=(a+2)²≥0, 所以x²+ax-a-1与x轴至少有一个交点。 没有符合条件的a值 (2)函数的值域为R说明x²+ax-a-1取遍所有非负值。 即判别式≥0, 由(1)知显然恒成立。 ∴a∈R (3)函数在(2,3)上有意义 g(x)=x²+ax-a-1=(x+a/2)²-(a²/4+a+1) g(x)=(x-1)(x+a+1) 只要g(x)|min≥0即可 即x+a+1≥0 ==> x≥-1-a ∵x∈(2,3) ==> 2≥-1-a ∴a≥-3 (...全部

  解： (1)x²+ax-a-1＞0恒成立, 则判别式＜0 即△=(a+2)²≥0, 所以x²+ax-a-1与x轴至少有一个交点。 没有符合条件的a值 (2)函数的值域为R说明x²+ax-a-1取遍所有非负值。
   即判别式≥0, 由(1)知显然恒成立。 ∴a∈R (3)函数在(2,3)上有意义 g(x)=x²+ax-a-1=(x+a/2)²-(a²/4+a+1) g(x)=(x-1)(x+a+1) 只要g(x)|min≥0即可 即x+a+1≥0 ==> x≥-1-a ∵x∈(2,3) ==> 2≥-1-a ∴a≥-3 (4)定义域为(2,3), 即在(-∞,2]∪[3,+∞)上g(x)≤0 显然不可能。
   故没有这样的实数a (5)若此函数在(2,3)上能成立。 则g(x)在(2,3)上恒大于0 等价于满足下列两种情况之一即可 (i)对称轴在区间[2,3]内, 且g(-a/2)＞0 (ii)其对称轴不在区间[2,3]内且f(2),f(3)皆非负。
   即 {2≤-a/2≤3 {g(-a/2)＞0 无解, 或 {g(2)≥0 {-a/2≤2 解得a≥-3 或 {g(3)≥0 {-a/2≥3 无解 故a∈[-3,+∞) (6)显然g(x)的对称轴在区间[3,+∞), 且g(3)≥0 即 {g(3)≥0 {-a/2≥3 故a∈[-3,+∞) (7)等价于g(x)≥1对于x∈[2,3]恒成立。
   即h(x)=x²+ax-a-2≥0 即(x+a/2)²-(a²/4+a+2)≥0 由(6)易知-(a²/4+a+2)恒小于0 所以只要当x=2及x=3时成立即可 即h(2)≥0 且 h(3)≥0 即a≥-2 且 a≥-7/2 即a∈[-2,+∞)。
  收起