已知函数的定义域为.求实数的取值范围;当变化时,若的最小值为,求函数的值域.

高一数学对数函数问题

解： （1）由题意知“ax^2 + 2x + 1＞0 在 x∈R 上恒成立”，故 a＞0 且判别式 △＝4-4a＜0, 解得 a＞1；即 a 的取值范围是 a＞1。 当 a＞1 时，函数 y＝ax^2 + 2x + 1 的最小值为 -(b^2 - 4ac)/(4a)＝-(4-4a)/(4a)＝(a-1)/a＝1- 1/a(当 x＝-1/a 时), 所以 函数f(x)＝lg(ax^2 + 2x + 1) 的值域为 [lg(a-1)-lga ，+∞）。 （2）要使“函数f(x)的值域为 R”，那么二次函数 y＝ax^2 + 2x + 1 的值域应该包含（0，+∞），也就是说，“必须 a＞0...全部

  解： （1）由题意知“ax^2 + 2x + 1＞0 在 x∈R 上恒成立”，故 a＞0 且判别式 △＝4-4a＜0, 解得 a＞1；即 a 的取值范围是 a＞1。 当 a＞1 时，函数 y＝ax^2 + 2x + 1 的最小值为 -(b^2 - 4ac)/(4a)＝-(4-4a)/(4a)＝(a-1)/a＝1- 1/a(当 x＝-1/a 时), 所以 函数f(x)＝lg(ax^2 + 2x + 1) 的值域为 [lg(a-1)-lga ，+∞）。
   （2）要使“函数f(x)的值域为 R”，那么二次函数 y＝ax^2 + 2x + 1 的值域应该包含（0，+∞），也就是说，“必须 a＞0 且 方程 ax^2 + 2x + 1＝0 有根”，所以 a＞0 且判别式 △＝4-4a≥0, 解得 0＜a≤1； 不难知道，若 a＝0，一次函数 y＝2x + 1 的值域为(-∞,+∞)包含(0，+∞）， 所以 a＝0 也符合题意！ 因此实数 a 的取值范围应该是 0≤a≤1。
   若 a＝0 ，解不等式 2x + 1＞0，得此时 函数f(x)的定义域为 x＞-1/2； 若 0＜a＜1 ，解二次不等式 ax^2 + 2x + 1＞0，可得此时函数f(x)的定义域为 x＜[-1-根号(1-a)]/a 或 x＞[-1+根号(1-a)]/a； 若 a＝1，由不等式 x^2 + 2x + 1＞0 可得函数f(x)的定义域为 x≠-1。
   。收起