高中数学题目已知椭圆C的两个焦点
⑴
设C为x^2/a2+y^2/b2=1(a>b>0),
由椭圆定义知,
|MF1|+|MF2|=2a,|NF1|+|NF2|=2a,
故(|MF|+|NF1|)+(|MF2|+|NF2|)=4a,
即4a=8→a=2。
又c=√3,于是b^2=1,
故C为x^2/4+y^2=1。
⑵
设m为y=kx+2(k≠0),
且m、C交于点A(x1,y1)、B(x2,y2),
以m代入C整理得,
(1+4k^2)x^2+16kx+12=0 ①
其判别式△=(16k)^2-4×12(1+4k^2)>0,
∴k>√3/2或k<-√3/2 ②
∵以AB为直径的圆过原点,故...全部
⑴
设C为x^2/a2+y^2/b2=1(a>b>0),
由椭圆定义知,
|MF1|+|MF2|=2a,|NF1|+|NF2|=2a,
故(|MF|+|NF1|)+(|MF2|+|NF2|)=4a,
即4a=8→a=2。
又c=√3,于是b^2=1,
故C为x^2/4+y^2=1。
⑵
设m为y=kx+2(k≠0),
且m、C交于点A(x1,y1)、B(x2,y2),
以m代入C整理得,
(1+4k^2)x^2+16kx+12=0 ①
其判别式△=(16k)^2-4×12(1+4k^2)>0,
∴k>√3/2或k<-√3/2 ②
∵以AB为直径的圆过原点,故OA⊥OB,
于是,x1x2+y1y2=0,
即x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=0
→(1+k^2)x1x2+2k(x1+x2)+4=0,
由①及韦达定理,得
[12(1+k^2)/(1+4k^2)]+[2k(-16k)/(1+4k^2)]+4=0
→k=±2
故m为:y=±2x+2。
⑶
假设C上存在两点E(x3,y3)、F(x4,y4)关于
y=2x+2对称,
且线段EF中点为H(x0,y0),则
{x3+x4=2x0
{y3+y4=2y0
{x3^2+4y3^2=4
{x4^2+4y4^2=4
{x3≠x4
故易得,
(y3-y4)/(x1-x4)=-x0/(4y0)
又,[(y3-y4)/(x3-x4)]·(±2)=-1,
∴-x0/(4y0)=±1/2
→x0=±2y0 ③
而点H(x0,y0)在y=±2x+2上,
∴y0=±2x0+2 ④
由③、④解得,
x0=-4/3,y0=-2/3;或x0=4/3,y0=2/3。
∵x0^2/4+y0^2=16/9×1/4+4/9<1,
∴点H在C内,即C上存在两点E、F关于
y=±2x+2的对称,
此时,EF为:y=±(1/2)x-4/3,
。收起