高中数学题目已知椭圆C的两个焦点
⑴
设C为x^2/a2+y^2/b2=1(a>b>0)，
由椭圆定义知，
|MF1|+|MF2|=2a，|NF1|+|NF2|=2a，
故(|MF|+|NF1|)+(|MF2|+|NF2|)=4a，
即4a=8→a=2。
又c=√3，于是b^2=1，
故C为x^2/4+y^2=1。
⑵
设m为y=kx+2(k≠0)，
且m、C交于点A(x1，y1)、B(x2，y2)，
以m代入C整理得，
(1+4k^2)x^2+16kx+12=0 ①
其判别式△=(16k)^2-4×12(1+4k^2)>0，
∴k>√3/2或k<-√3/2 ②
∵以AB为直径的圆过原点，故...全部
⑴
设C为x^2/a2+y^2/b2=1(a>b>0)，
由椭圆定义知，
|MF1|+|MF2|=2a，|NF1|+|NF2|=2a，
故(|MF|+|NF1|)+(|MF2|+|NF2|)=4a，
即4a=8→a=2。
又c=√3，于是b^2=1，
故C为x^2/4+y^2=1。
⑵
设m为y=kx+2(k≠0)，
且m、C交于点A(x1，y1)、B(x2，y2)，
以m代入C整理得，
(1+4k^2)x^2+16kx+12=0 ①
其判别式△=(16k)^2-4×12(1+4k^2)>0，
∴k>√3/2或k<-√3/2 ②
∵以AB为直径的圆过原点，故OA⊥OB，
于是，x1x2+y1y2=0，
即x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=0
→(1+k^2)x1x2+2k(x1+x2)+4=0，
由①及韦达定理，得
[12(1+k^2)/(1+4k^2)]+[2k(-16k)/(1+4k^2)]+4=0
→k=±2
故m为：y=±2x+2。
⑶
假设C上存在两点E(x3，y3)、F(x4，y4)关于
y=2x+2对称，
且线段EF中点为H(x0，y0)，则
{x3+x4=2x0
{y3+y4=2y0
{x3^2+4y3^2=4
{x4^2+4y4^2=4
{x3≠x4
故易得，
(y3-y4)/(x1-x4)=-x0/(4y0)
又，[(y3-y4)/(x3-x4)]·(±2)=-1，
∴-x0/(4y0)=±1/2
→x0=±2y0 ③
而点H(x0，y0)在y=±2x+2上，
∴y0=±2x0+2 ④
由③、④解得，
x0=-4/3，y0=-2/3；或x0=4/3，y0=2/3。
∵x0^2/4+y0^2=16/9×1/4+4/9<1，
∴点H在C内，即C上存在两点E、F关于
y=±2x+2的对称，
此时，EF为：y=±(1/2)x-4/3，
。收起
