求证三角函数问题

三角函数不等式

三角函数不等式 问题 A,B,C是三角形三内角。求证: tanA+2tan(B/2)+3tan(C/3)≥2√3 证明 此不等式当A：B：C=1：2：3时取得等号。 下面先给出更一般的结论，在△ABC中，[A+B+C=π]对λ≥1。 有: tan(A/λ)+2tan(B/2λ)+3tan(C/3λ)≥6tan(π/6λ) 当α>0,β>0，α+β<π/2时，有 tanα+tanβ=(sinαcosβ+cosαsinβ)/(cosαcosβ)=sin(α+β)/(cosαcosβ)=2sin(α+β)/[cos(α+β)+cos(α-β)]≥2sin(α+β)/[cos(α+β)+1]=2...全部

  三角函数不等式 问题 A,B,C是三角形三内角。求证: tanA+2tan(B/2)+3tan(C/3)≥2√3 证明 此不等式当A：B：C=1：2：3时取得等号。 下面先给出更一般的结论，在△ABC中，[A+B+C=π]对λ≥1。
  有: tan(A/λ)+2tan(B/2λ)+3tan(C/3λ)≥6tan(π/6λ) 当α>0,β>0，α+β<π/2时，有 tanα+tanβ=(sinαcosβ+cosαsinβ)/(cosαcosβ)=sin(α+β)/(cosαcosβ)=2sin(α+β)/[cos(α+β)+cos(α-β)]≥2sin(α+β)/[cos(α+β)+1]=2tan[(α+β)/2]。
   tan(A/λ)+2tan(B/2λ)+3tan(C/3λ)+2tan(π/6λ)≥2tan[(A/λ+B/2λ)/2]+2tan[(B/2λ+C/3λ)/2]+4tan[(C/3λ+π/6λ)/2]≥4tan[(A/λ+B/2λ+B/2λ+c/3λ)/4+4tan[(2C/3λ+π/3λ)/4]≥8tan[(A/λ+B/2λ+B/2λ+C/3λ+2C/3λ+π/3λ)/8]=8tan(π/6λ)。
  所以得: tan(A/λ)+2tan(B/2λ)+3tan(C/3λ)≥6tan(π/6λ) 当λ=1时，有tanA+2tan(B/2)+3tan(C/3)≥6tan(π/6)=2√3 从证明即知A：B：C=1：2：3时取得等号。
  证毕。 。收起