一道函数问题

一道数学压轴题已知函数f(x)=

已知函数f(x)=alnx-bx^2图象上一点P(2,f(2))处的切线方程为y=-3x+2ln2+2 (1)求a,b的值； f(x)=alnx-bx^2 所以，f'(x)=(a/x)-2bx 那么，在点P(2，f(2))处切线的斜率为k=f'(2)=(a/2)-4b 已知在点P的切线为y=-3x+2ln2+2 所以，f'(2)=(a/2)-4b=-3…………………………………………（1） 点P(2,f(2))在f(x)和切线上，所以： f(2)=aln2-4b=-3*2+2ln2+2 ===> aln2-4b=2ln2-4………………………………………………（2） 联立(1)(2)得到，...全部

  已知函数f(x)=alnx-bx^2图象上一点P(2,f(2))处的切线方程为y=-3x+2ln2+2 (1)求a,b的值； f(x)=alnx-bx^2 所以，f'(x)=(a/x)-2bx 那么，在点P(2，f(2))处切线的斜率为k=f'(2)=(a/2)-4b 已知在点P的切线为y=-3x+2ln2+2 所以，f'(2)=(a/2)-4b=-3…………………………………………（1） 点P(2,f(2))在f(x)和切线上，所以： f(2)=aln2-4b=-3*2+2ln2+2 ===> aln2-4b=2ln2-4………………………………………………（2） 联立(1)(2)得到，a=2，b=1 (2)若方程f(x)+m=0在[1/e,e]内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底数）； 由前面知，f(x)=2lnx-x^2 则,f(1/e)=-2-(1/e^2)，f(e)=2-e^2 所以，0＞f(1/e)＞f(e)……………………………………（1） 当，f'(x)=(2/x)-2x=(2-2x^2)/x=2(1-x^2)/2 所以，f'(x)=0时，x=1，或者x=-1 所以： 当x∈[1/e,1)时，f'(x)＞0，函数f(x)单调递增； 当x∈(1,e]时，f'(x)＜0，函数f(x)递减。
   所以，当x∈[1/e,e]时，f(x)在x=1处取得极大值f(1)=-1 方程f(x)+m=0 ===> f(x)=-m在x∈[1/e,e]上有两个实数根，即说明函数y=f(x)与直线y=-m在[1/e,e]上有两个交点 所以，f(1/e)≤-m＜-1 ===> 1＜m≤-f(1/e) ===> 1＜m≤2+(1/e^2) (3)令g(x)=f(x)-kx,若g(x)的图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)(其中x1 2lnx1-x1^2-kx1=2lnx2-x2^2-kx2 ===> 2(lnx1-lnx2)=x1^2-x2^2+kx1-kx2=(x1+x2+k)*(x1-x2) ===> [2(lnx1-lnx2)/(x1-x2)]-k=x1+x2 ===> (x1+x2)/2=[2(lnx1-lnx2)-k(x1-x2)]/[2(x1-x2)] 因为点C为AB中点，所以：xo=(x1+x2)/2 g(x)=2lnx-x^2-kx ===> g'(x)=(2/x)-2x-k=(2-2x^2-kx)/x=[2(1+x)*(1-x)-kx]/x 所以，g'(xo)=…… 【中间过程略去】 最后可以得到，g'(xo)≠0。
  收起