数列极限

高数求极限求x趋于无穷时1/（n+1

求x趋于无穷时1/（n+1)+1/(n+2)+。。。。。。+1/(n+n)极限 题中的x显然是n之误。改为： lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]。 解 因为 1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+…+1/(2n-1)-1/(2n) =[1+1/2+1/3+…+1/(2n)]-2[1/2+1/4+1/6+…+1/(2n)] =[1+1/2+1/3+…+1/(2n)]-[1+1/2+1/3+…+1/n] =1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n), 所以lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)] =lim[1-1/2+1/3-1/4+...全部

  求x趋于无穷时1/（n+1)+1/(n+2)+。。。。。。+1/(n+n)极限 题中的x显然是n之误。改为： lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]。 解 因为 1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+…+1/(2n-1)-1/(2n) =[1+1/2+1/3+…+1/(2n)]-2[1/2+1/4+1/6+…+1/(2n)] =[1+1/2+1/3+…+1/(2n)]-[1+1/2+1/3+…+1/n] =1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n), 所以lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)] =lim[1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+…+1/(2n-1)-1/(2n)] =1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+…+(-1)^(n-1)+… =ln2。
   注： (i) 因为 1/(1+x)=1-x+x^2-x^3+…+(-1)^(n-1)x^(n-1)+…, (-11/(1+x)dx=∫[1-x+x^2-x^3+…+(-1)^(n-1)x^(n-1)+…]dx, 即 ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4++(-1)^(n-1)x^n/n+…(-1[1+1/2+1/3+…+1/n-lnn] (1) 所以γ=lim[1+1/2+1/3+…+1/(2n)-ln(2n)] (2) (2)-(1)得 lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)-ln(2n)+lnn]=0 即 lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)-ln2]=0 因此 lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)] =lim{[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)-ln2]+ln2} =0+ln2 =ln2。
  收起