求面积时积分限选择问题

数学极坐标的上下限如何确定的,请详细分析,谢谢

设积分区域D在第一象限的部分为D1，再化为两部分 D11={(x,y)|0＜x+y≤1}；D12={(x,y)|1＜x+y≤2} 由积分区域的对称性和被积函数的奇偶性，得 原积分=4(∫∫f(x,y)dσ+∫∫f(x,y)dσ) 令x=rcosθ，y=rsinθ，则x+y=r(cosθ+sinθ)，即 D11={(r,θ)|0＜r(cosθ+sinθ)≤1}； D12={(r,θ)|1＜r(cosθ+sinθ)≤2}，故 ∫∫f(x,y)dσ =∫dθ∫(rcosθ)²rdr =∫cos²θdθ∫r³dr =(1/4)∫cos²θ(r^4|)dθ =...全部

  设积分区域D在第一象限的部分为D1，再化为两部分 D11={(x,y)|0＜x+y≤1}；D12={(x,y)|1＜x+y≤2} 由积分区域的对称性和被积函数的奇偶性，得 原积分=4(∫∫f(x,y)dσ+∫∫f(x,y)dσ) 令x=rcosθ，y=rsinθ，则x+y=r(cosθ+sinθ)，即 D11={(r,θ)|0＜r(cosθ+sinθ)≤1}； D12={(r,θ)|1＜r(cosθ+sinθ)≤2}，故 ∫∫f(x,y)dσ =∫dθ∫(rcosθ)²rdr =∫cos²θdθ∫r³dr =(1/4)∫cos²θ(r^4|)dθ =(1/4)∫cos²θdθ/(cosθ+sinθ)^4 (分子分母同除以(cosθ)^4) =(1/4)∫sec²θdθ/(1+tanθ)^4 =(1/4)∫dtanθ/(1+tanθ)^4 =(1/4)(-1/3)[1/(1+tanθ)³]| =1/12(明显不如用直角坐标计算简单) ∫∫f(x,y)dσ =∫dθ∫rdr/r =∫dθ/(cosθ+sinθ) =(1/√2)∫dθ/sin(θ+π/4) =(1/√2)∫csc(θ+π/4)dθ =(1/√2)ln|csc(θ+π/4)-cot(θ+π/4)|| =(1/√2)ln|[csc(3π/4)-cot(3π/4)]/[csc(π/4)-cot(π/4)]| =(1/√2)ln|(√2+1)/(√2-1)| =(1/√2)ln|(√2+1)²/(√2-1)(√2+1)| =√2ln(√2+1)。
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