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三角形的三边长 a b c的倒数成等差数列,求证B<90°

三角形的三边长 a b c的倒数成等差数列,求证B<90°

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2009-02-28

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    ∵1/a 1/b 1/c成等差数列,∴2/b=1/a+1/c b=2ac/(a+c) 由余弦定理得: cosB=(c^2+a^2-b^2)/(2ac) =[(c^2+a^2)(a+c)^2-4(ac)^2]/[2ac(a+c)^2] 下证cosB≥1/2。
     [(c^2+a^2)(a+c)^2-4(ac)^2]/[2ac(a+c)^2]≥1/2 (c^2+a^2)(a+c)^2-4(ac)^2≥ac(a+c)^2 (c^2+ac+a^2)(a-c)^2≥0 故B≤60°。
   从而 B<90° 。  。

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