已知函数f(x)=x2axb(a
已知函数f(x)=x^+ax+b(a、b∈R+),当p+q=1时，试证明：pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)对于任意实数x、y都成立的充要条件是0≤p≤1
解:必要性:
∵pf(x)+qf(y)-f(px+qy)=p(x^+ax+b)+q(y^+ay+b)-[(px+qy)^+a(px+qy)+b]
=(px^+qy^)+a(px+qy)+(p+q)b-(px+qy)^-a(px+qy)-b
=(px^+qy^)-(px+qy)^
=(px^+qy^)-(p^x^+2pqxy+q^y^)
=p(1-p)x^-2pqxy+q(1-q)y^
=pqx^-2pqxy+qpy^
=pq(x-...全部
已知函数f(x)=x^+ax+b(a、b∈R+),当p+q=1时，试证明：pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)对于任意实数x、y都成立的充要条件是0≤p≤1
解:必要性:
∵pf(x)+qf(y)-f(px+qy)=p(x^+ax+b)+q(y^+ay+b)-[(px+qy)^+a(px+qy)+b]
=(px^+qy^)+a(px+qy)+(p+q)b-(px+qy)^-a(px+qy)-b
=(px^+qy^)-(px+qy)^
=(px^+qy^)-(p^x^+2pqxy+q^y^)
=p(1-p)x^-2pqxy+q(1-q)y^
=pqx^-2pqxy+qpy^
=pq(x-y)^
=p(1-p)(x-y)^≥0
又∵(x-y)^≥0∴p(1-p)即:0≤p≤1
充分性:
∵pf(x)+qf(y)-f(px+qy)=p(x^+ax+b)+q(y^+ay+b)-[(px+qy)^+a(px+qy)+b]
=pq(x-y)^
当0≤p≤1,q=1-p≥0
pq(x-y)^≥0
pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)成立。
。收起
