数学题

关于f(z)=argz的问题规定

规定argz的值域是(-π,π]，那么在除了负实轴和零点的复平面上，f(z)=argz是否可导？ 不可导, 因为Z→Z0时,(argZ-argZ0)/(Z-Z0)不存在。 举例说明: 不妨设 Z=X+Yi,X>0,Y>0 Z0=X0+Y0i,X0>0,Y0>0 ΔZ=Z-Z0 =(X-X0)+(Y-Y0)i =ΔX+ΔYi argZ-argZ0 =arctan(y/x)-arctan(y0/x0) =arctan{[(y/x)-(y0/x0)]/[1 +(y/x)(y0/x0)]} =arctan{[-y0(Δx)+x0(Δy)]/[xy+(x0)(y0)]} ∵当ΔZ→0,即ΔX→0,Δ...全部

  规定argz的值域是(-π,π]，那么在除了负实轴和零点的复平面上，f(z)=argz是否可导？ 不可导, 因为Z→Z0时,(argZ-argZ0)/(Z-Z0)不存在。 举例说明: 不妨设 Z=X+Yi,X>0,Y>0 Z0=X0+Y0i,X0>0,Y0>0 ΔZ=Z-Z0 =(X-X0)+(Y-Y0)i =ΔX+ΔYi argZ-argZ0 =arctan(y/x)-arctan(y0/x0) =arctan{[(y/x)-(y0/x0)]/[1 +(y/x)(y0/x0)]} =arctan{[-y0(Δx)+x0(Δy)]/[xy+(x0)(y0)]} ∵当ΔZ→0,即ΔX→0,ΔY→0时 arctan{[-y0(Δx)+x0(Δy)]/[xy+(x0)(y0)]} ----------------------------------------- {[-y0(Δx)+x0(Δy)]/[xy+(x0)(y0)]} →1 ∴ 。
  。。argZ-argZ0 lim---------- 。。。。。。Z-Z0 。。。。。。(argZ-argZ0)/{[-y0(Δx)+x0(Δy)]/[xy+(x0)(y0)]} =lim -------------------------------------------- 。
  。。。。。。。(ΔX+ΔYi)/{[-y0(Δx)+x0(Δy)]/[xy+(x0)(y0)]} 。。。。。。[-y0(Δx)+x0(Δy)] =lim --------------------- 。
  。。。。(ΔX+ΔYi)[xy+(x0)(y0)]} 当ΔX,ΔY从不同路径,以不同速度,趋于0时 上述极限不存在, [比如:沿路径y=x^2,上述极限=-1/(2x0) 或沿路径x=y^3,上述极限=-i/(2y0)] 所以argz在区域{z|z=x+yi,x>0,y>0}不可导。
   其余区域的讨论类推。 [不会尚理先生的贴图上传方法,表达过程费解,抱歉!请行家解答吧。]。收起