问一道高一数学题已知函数f(x)
已知函数f(x)=[1/（2^x-1）+1/2]*x^3
1。判断f(x)的奇偶性 ； 2。 求证f(x)〉0
（1） 函数的定义域为 x ≠ 0
为打字方便，设 g(x) = 1/(2^x - 1) + 1/2
则 g(-x) = 1/[2^(-x) - 1] + 1/2 = 1/(1/2^x - 1/2) + 1/2
= (2^x)/(1 - 2^x) + 1/2 = -(2^x)/(2^x - 1) + 1/2
故 g(-x) + g(x) = -(2^x)/(2^x - 1) + 1/2 + 1/(2^x - 1) + 1/2
= (1 - 2^x)/(...全部
已知函数f(x)=[1/（2^x-1）+1/2]*x^3
1。判断f(x)的奇偶性 ； 2。
求证f(x)〉0
（1） 函数的定义域为 x ≠ 0
为打字方便，设 g(x) = 1/(2^x - 1) + 1/2
则 g(-x) = 1/[2^(-x) - 1] + 1/2 = 1/(1/2^x - 1/2) + 1/2
= (2^x)/(1 - 2^x) + 1/2 = -(2^x)/(2^x - 1) + 1/2
故 g(-x) + g(x) = -(2^x)/(2^x - 1) + 1/2 + 1/(2^x - 1) + 1/2
= (1 - 2^x)/(2^x - 1) + 1 = 0
所以 g(-x) = -g(x) （这说明 g(x) 是奇函数）
f(x) = g(x) * x³
f(-x) = g(-x) * (-x)³ = [-g(x)] * (-x³) = g(x) * x³ = f(x)
所以 f(x) 是偶函数
（2） （因为f(x)是偶函数，所以只需证明x>0时，f(x)>0即可）
当 x > 0 时， 2^x > 1 ， 且 x^3 > 0
f(x) = [1/(2^x - 1) + 1/2] * x^3 > 0 是显然成立的；
又因为 f(x) 是偶函数
所以当 x 0， 故 f(x) = f(-x) > 0 也成立
即在定义域内，总有 f(x) > 0
。收起
