题目见附图.请写出过程.谢谢!
把βi=(αi,ti) 这里αi是s维向量,ti是m维向量,所有合一起βi是(k+m)维向量。
(1) 如果α1,α2,。。。,αs线性无关,而假设β1,β2,。
。。βs线性相关,那么存在不全为0的p1,p2,。。。,pn,使得
p1β1+p2β2+。。 。+psβs=0
(p1α1+p2α2+。。。+psαs,p1t1+p2t2+。
。。+psts)=0
所以p1α1+p2α2+。。。+psαs=0,这说明α1,α2,。。。,αs线性相关,矛盾。
因此 如果α1,α2,。。。,αs线性无关,则β1,β2,。 。
。βs也线性无关。
(2)如果β1,β2,。。。βs线性相关,但α1,α2,。。。,αs线性无关,那么由(1)可知β1,β2,。。。βs也线性无关,跟已知β1,β2,。。。βs线性相关矛盾,故如果β1,β2,。
。。βs线性相关,但α1,α2,。。。,αs也线性相关
。