不等式问题
不等式问题在ΔABC中，三边长为a,b,c，R,r分别表示ΔABC的外接圆与内切圆半径，x,y,z为正实数。求证:xa^2/(y+z)+yb^2/(z+x)+zc^2/(x+y)≥2r(4R+r)
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不等式问题
在ΔABC中，三边长为a,b,c，R,r分别表示ΔABC的外接圆与内切圆半径，x,y,z为正实数。求证:
xa^2/(y+z)+yb^2/(z+x)+zc^2/(x+y)≥2r(4R+r)
证明 根据三角形己知恒等式:
4r*(4R+r)=2(bc+ca+ab)-(a^2+b^2+c^2)
所以待证不等式等价于:
2[xa^2/(y+z)+yb^2/(z+x)+zc^2/(x+y)]≥2(bc+ca+ab)-(a^2+b^2+c^2) (1)
(1)式化简为:
a^2*(2x+y+z)/(y+z)+b^2*(2y+z+x)/(z+x)+c^2*(2z+x+y)/(x+y) ≥2(bc+ca+ab) (2)
因为
b^2*(x+y)/(z+x)+c^2*(z+x)/(x+y) ≥2bc;
c^2*(y+z)/(x+y)+a^2*(x+y)/(y+z) ≥2ca;
a^2*(z+x)/(y+z)+b^2*(y+z)/(z+x) ≥2ab。
上述三式相加即得(2)，即(1)式。从而所证不等式成立。 易验证当a:b:c=(y+z):(z+x):(x+y)时取等号。证毕。 。
上述三式相加即得(2)，即(1)式。从而所证不等式成立。 易验证当a:b:c=(y+z):(z+x):(x+y)时取等号。证毕。 。
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