不等式的解法

    全日制普通高级中学教科书（试验修订本、必修）第一章第四节是“含绝对值的不等式解法”，第五节是“一元二次不等式的解法”。 　　教材在由一个商店出售食盐的实际问题引出含绝对值的不等式∣x-500∣≤5之后提出问题（以下内容引自教材）： 　　“怎样解含绝对值的不等式呢？ 　　让我们先看含绝对值的方程∣x∣=2， 　　由绝对值意义可知，方程的解是x=2或x=-2，在数轴上表示如下（图）。
     　　　　 　　再看相应的不等式∣x∣＜2与∣x∣＞2。 　　由绝对值意义，给合数轴表示（图）可知，不等式∣x∣＜2就表示数轴上到原点的距离小于2的点的集合，在数轴上表示如下（图）。
   　　　　 　　因而不等式∣x∣＜2的解集是：{x∣-2＜x＜2}。   　　类似地，不等式∣x∣＞2就表示数轴上到原点的距离大于2的点的集合，在数轴上表示如下（图）。
   　　　　 　　因而不等式∣x∣＞2的解集是： 　　{x∣x＜-2}∪{x∣x＞2}={x∣x＜-2,或x＞2} 　　一般地，不等式∣x∣＜a(a＞0)的解集是：{x∣-a＜x＜a}； 　　不等式：∣x∣＞a(a＞0)的解集是：{x∣x＞a，或x＜-a}” 　　以上处理充分地体现了绝对值的几何意义以及形数结合的思想，由特殊到一般的抽象概括的思想，一言以蔽之，“数轴标根法”。
    以下的两个例题：解不等式∣x-500∣≤5和解不等式∣2x+5∣＞7，运用整体思想（即视ax+b=x）化归为∣x∣＜a，或∣x∣＞a，（ a＞0）再运用不等式性质求出解集。
   　　二、比较 　　无独有偶，1。5一元二次不等式的解法中，先由一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系，由对应值表与一次函数图象求得一元一次不等式的解集： 　　“一般地，设直线y=ax+b与x轴的交点是（x0,0），就有如下结果： 　　1．一元一次方程ax+b=0的解是x0。
     　　2．（1）当a＞0时， 　　一元一次不等式ax+b＞0的解集是：{x∣x＞x0} 　　一元一次不等式ax+b＜0的解集是：{x∣x＜x0}； 　　　　（2）当a＜0时， 　　一元一次不等式ax+b＞0的解集是：{x∣x＜x0}。
     　　一元一次不等式ax+b＜0的解集是：{x∣x＞x0}。” 　　接下来，又由一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，由特殊到一般，分Δ＞0，Δ=0，Δ＜0三种情况讨论一元二次不等式ax2+bx+c＞0与ax2+bx=c＜0(a＞0)的解集；对于二次项系数是负数（即a＜0）的不等式，利用不等式性质化归为正数，再求解，这里，“数（序）轴标根法”也是呼之即出了。
     　　三、让我们再往前走一步 　　我们来看一个一元三次不等式： 　　x(x+3)(x-1)＞0为了求出它的解集，我们可以采取以下步骤： 　　第一步：找到x(x+3)(x-1)=0的根，0，-3，1。
   　　第二步：按从小到大次序从左到右在数轴上标上这三个根。   　　　　　　　 　　第三步：画线穿根——从1的右边自x轴上方起画一曲线穿过1到x轴下方，再穿过0回到x轴上方，再穿过-3到x轴下方。
   　　　　　　 　　第四步：根据图象得到x(x+3)(x-1)＞0的解集为{x∣-3＜x＜0或x＞1}。 　　以上方法叫“序（数）轴标根法” 　　想一想：这个方法的原理是什么？ 　　其实这个方法的原理非常简单，它植根于初中学过的实数乘（除）法的符号法则：几个因数相乘，如果负因子的个数为奇数，则积为负号；如果负因子的个数为偶数，则积有正号。
     　　一般地，设有一元n次不等式，(x-x1)(x-x2)(x-x3)…(x-xn)＞0，其中x1＜x2＜…＜xn，我们用“序轴标根法”来求它的解集： 　　第一步：找到它的n个根x1,x2,…,xn； 　　第二步：按以小到大次序从左到右在数轴上标上这n个根； 　　　　　 　　第三步：画线穿根——从xn的右边自x轴上方起画——曲线穿过xn到x轴下方，再穿过xn-1回到x轴上方，再穿过xn-2到x轴下方，这样依次穿下穿上，直至穿过最后一个根x1； 　　第四步：根据图象得到(x-x1)(x-x2)(x-x3)…(x-xn)＞0的解集：曲线在x轴上方的弧段对应的x轴上相应区间的并集。
    顺便地，曲线在x轴下方的弧段对应的x轴上的相应区间的并集，就是不等式(x-x1)(x-x2)(x-x3)…(x-xn)＜0的解集。 　　我们用表格来具体地阐释一个一元五次不等式的数轴标根法解法原理： 　　例：解不等式(x2-1)(x2-4x-12)(x-4)＞0 　　解：整理不等式（因式分解，并按根从小到大，从左到右排列诸因式）得：(x+2)(x+1)(x-1)(x-4)(x-6)＞0 　　“序轴标根”： 　　　　　 　　所求解集为{x∣-2＜x＜-1或1＜x＜4或x＞6} 　　　　　 　　上表说明如下： 　　① 最左边一列按照根从小到大从上到下依次排列5个因式，最下边是它们的连乘积，也就是原不等式左边的分解式； 　　② 第二行右侧将根从小到大从左到右依次标在数轴上，5个根将数轴划分为6个区间，从左到右依次是：（-∞，-2），（-2，-1），（-1，1），（1，4），（4，6），（6，+∞） 　　③ 从最右边一列开始，从下往上看：在（6，+∞）上，5个因式的值均取正号，故在区间上，(x+2)(x+1)(x-1)(x-4)(x-6)取正号； 在区间（4，6）上，除x-6取“－”号外，其它四个因式取“＋”号，(x+2)(x+1)(x-1)(x-4)(x-6)取“－”号； 　　在区间（1，4）上，(x-6)(x-4)两个因式取“－”号；其他三个因式取“＋”号，故五个因式之积取“＋”号； 　　在（-1，1）上，x-6,x-4,x-1三个因式取“－”号，其余两个因式取“＋”号，故五个因式之积取“－”号； 　　在(-∞,-1)上，x-6,x-4,x-1,x+1四个因式取“一”号，其余一个因式取“＋”号，故五个因式之积取“＋”号； 　　在(-∞,-2)上，五个因式均取“一”号，故其积取“一”号。
     　　如果从右到左考察多个区间，可发现规律如下： 　　最右边一个区间上，诸因式符号全“＋”；从右到左每向左一个区间，负因子依次增加1个，因此各因式之积的符号，在最右边区间上取“＋”号，而由右到左多区间内，依次取“＋”、“－”、“＋”、“一”，…，正负相间，极有规律。
    这就是为什么“穿线”要从最右边的根的右上方向左下方穿起，而各在x轴上方的曲线弧段对应的区间并集就是(x-x1)(x-x2)…(x-xn)＞0的解集的道理。 　　四、应用 　　“序轴标根法”是一种“机械化”的或曰“程序化”的解一元不等式的方法，对于一元有理不等式，包括一元一次，一元二次，一元高次不等式，有理分式不等式，它都是一把利剑，一件攻无不克，战无不胜的利器。
    如果因式分解和不等式性质掌握得好，用“序轴标根法”解一元有理不等式，简直是“削铁如泥”。 　　请看以下诸例： 　　例1．解不等式x(x-3)(x+1)(x-2)＜0 　　解：整理不等式得(x+1)x(x-2)(x-3)＜0 　　“序轴标根”： 　　　　　　 　　所求解集为{x∣-1＜x＜0或2＜x＜3} 　　例2．解不等式（x2-3x+2）/（x2-7x+12）＞0 　　解：因式分解，化商为积并整理得(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)＞0 　　“序轴标根”： 　　　　　　　　 　　所求解集为{x∣-∞＜x＜1或2＜x＜3或x＞4} 　　例3．解不等式(x2-1)(x2+x+1)/x(x2-3x-28)(x+2)＜0 　　解：∵X∈R时,x2+x+1＞0 　　∴(x2-1)(x2+x+1)/x(x2-3x-28)(x+2)＜0＜＝＞（x2-1）/x(x2-3x-28)(x+2)＜0 　　　　　　　　　　　① 　　将①因式分解，化商为积并整理得：(x+4)(x+2)(x+1)·x·(x-1)(x-7)＜0 　　“序轴标根”： 　　　　　　　　 　　故所求不等式的解集为{x∣-4＜x＜-2或-1＜x＜0或1＜x＜7} 　　注：以上分式不等式解法中，用到了等价转化或曰同解变形：f(x)/y(x)＞0＜＝＞f(x)·g(x)＞0 　　五、拓广 　　我们再回到绝对值不等式上去。
     　　绝对值不等式的解法，我们可以利用绝对值定义分区间去掉绝对值符号转化为不等式组来求解，即常用的“零点分区讨论法”，它是通法。但是，如果利用绝对值性质及不等式性质来转化，也可以利用“序轴标根法”漂亮地求解，请看几个高考题。
   　　例4．不等式∣x2-3x∣＞4的解集是 ＿＿＿ 。  [89（14）] 　　解：原不等式同解于(x2-3x)2＞42＜＝＞(x2-3x)2-42＞0＜＝＞(x2-3x+4)(x2-3x-4)＞0＜＝＞x2-3x-4＞0＜＝＞(x+1)(x-4)＞0 　　“序轴标根”： 　　　　　　 　　故所求不等式的解集为{x∣x＜-1或x＞4} 　　[评注]因为x2-3x+4判别式Δ=(-3)2-4×4=-7＜0所以对X∈R，恒有x2-3x+4＞0，因此才有(x2-3x+4)(x2-3x-4)＞0＜＝＞x2-3x-4＞0，而不等式两边平方，移项，因式分解等，都是可以熟练地“一气呵成”的。
    再如解不等式∣x2-5x+5∣＜1＜＝＞(x2-5x+5)2-12＜0＜＝＞(x2-5x+6)(x2-5x+4)＜0＜＝＞(x-2)(x-3)(x-1)(x-4)＜0＜＝＞(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)＜0， 　　标根： 　　　　　　　 　　立得解集为{x∣1＜x＜2或3＜x＜4}，它比转化为一元二次不等式组求解简便得多。
     　　例5．设函数f(x)=∣lgx∣，若0＜a＜b，且f(a)＞f(b)，证明：ab＜1（2000年春季北京理工高考题） 　　先看参考解答： 　　证明：由已知 　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2分 　　∵0＜a＜b,f(a)f(b) 　　∴a、b不能同在区间[1,+∞)上，又由于0＜a＜b，故必有0＜a＜1；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分； 　　若b∈(0,1)，显然有ab＜1　　　　　　　　　　 8分 　　若b∈[1,+∞),由f(a)-f(b)＞0 　　有-lga-lgb＞0故lgab＜0,∴ab＜1 　　　　　　　　12分 　　[评注]参考解答中用到了分区间讨论，利用了对数函数y=lgx的性质。
    如果注意到绝对值性质，则可以不用分区间讨论而统一处理。 　　[又证]∵f(a)=∣lga∣,f(b)=∣lgb∣,∴f(a)＞f(b)＜＝＞∣lga∣＞∣lgb∣＜＝＞(lga)2＞(lgb)2 　　＜＝＞(lga+lgb)(lga-lgb)＞0＜＝＞lga+lgb＜0, 　　∵0＜a＜b,10＞1,lga＜lgb＜＝＞lgab＜0＜＝＞0＜ab＜1 　　例6．解不等式 　　　　 （本小题满分12分） 　　（北京市2002年理工科高考试题第17题） 　　解：令 　　　 　　则2x-1=t2,x=1/2(t2+1),t≥0 　　　　 　　＜＝＞∣t-1/2(t2+1)∣＜2＜＝＞∣t2-2t+1∣＜4 　　＜＝＞∣t-1∣2＜4＜＝＞∣t-1∣＜2＜＝＞-2＜t-1＜2 　　＜＝＞-1＜t＜3＜＝＞0≤t＜3＜＝＞ 　　 ＜＝＞0≤2x-1＜9,t≥0＜＝＞1/2≤x＜5 　　因此，原不等式的解集为{x∣1/2≤x＜5} 　　六．结束语 　　“统一”、“和谐”是一种数学美。
    我们在一元一次不等式，一元二次不等式，一元高次不等式(f(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-xn)0＞)，有理分式不等式以及含一个绝对值符号的一元绝对值不等式的解法中找到了带有共性的程序化的求解方法：“序轴标根法”，它的精髓和根本之处却只是实数乘法的符号法则的应用，形数结合的数学思想的应用。
    如果反过来用“序轴标根”，也可以非常精彩地处理以下“创新型”的高考题： 　　例7．已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图，则 　　　　　 　　(A)b∈(-∞,0); (B)b∈(0,1); (C)b∈(1,2); (D)b∈(2,+∞) 　　（2000年春季北京高考理工类第14题，5分）。
     　　观察图象，你能够看到什么？联想到什么？ 　　① 图象过原点，当有f(0)=0→d=0, 　　　　f(x)=ax3+bx2+cx=x(ax2+bx+c)； 　　 ②图象通过(1,0)、(2,0)两点，显然当有f(x)=ax(x-1)(x-2)； 　　③ a是什么数？是正还是负？联想当x→+∞时，f(x)→+∞,当有a＞0； 　　④　如何判断b的范围？展开f(x)有f(x)=a(x3-3x2+2x)=ax3-3ax2+2ax，由多项式恒等理论立得： 　　a＞0, 　　b=-3a, 　　c=2a, 　　∴b＜0,b∈(-,0), 　　∴选（A） 。
    。