平面

平面P是三角形ABC所在平面外一点，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，D是AB边上任意一点。 1）求证：平面PDC⊥平面PAB。 2）设PA=a，PB=b，PC=c，试问：D点位于何处时，三角形PDC的面积最小，其最小值为多少？

证明： 1） 已知 PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA； 由 PC⊥PA， PC⊥PB, PA，PB相交于P，可得PC⊥平面PAB; 而 PC 属于平面PDC， 所以 平面PDC⊥平面PAB； 2） 在三角形PAB中，角APB 是直角， PA = a, PB =b, 由勾股定理： |AB|^2 = a^2+b^2； |AB| = sqrt(a^2+b^2); 令AD = x; 在三角形APD中，由余弦定理： |PD|^2 = a^2+x^2-2*axcos(角PAD) = a^2 +x^2 -2ax*a/sqrt(a^2+b^2); 故 |PD| = sqrt(a^2 + x^2 - 2...全部

  证明： 1） 已知 PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA； 由 PC⊥PA， PC⊥PB, PA，PB相交于P，可得PC⊥平面PAB; 而 PC 属于平面PDC， 所以 平面PDC⊥平面PAB； 2） 在三角形PAB中，角APB 是直角， PA = a, PB =b, 由勾股定理： |AB|^2 = a^2+b^2； |AB| = sqrt(a^2+b^2); 令AD = x; 在三角形APD中，由余弦定理： |PD|^2 = a^2+x^2-2*axcos(角PAD) = a^2 +x^2 -2ax*a/sqrt(a^2+b^2); 故 |PD| = sqrt(a^2 + x^2 - 2a^2*x/sqrt(a^2+b^2)); 由于 平面PDC⊥平面PAB，（（1）已证） PC属于平面PDC, 故 PC ⊥平面PAB； 而PD 属于平面PAB，故 PC⊥PD, 则 三角形PDC的面积 s=|PC|*|PD|/2 =c*|PD|/2; 由于单调性，|PD|令 s取最小值相当于令 s^2 取最小值 s^2 = c^2*|PC|^2/4 = c^2(a^2 +x^2 -2a^2*x/sqrt(a^2+b^2))/4 = c^2*x^2/4 - 2*a^2*c^2*x/sqrt(a^2+b^2)/4+a^2*c^2/4 当 x = -(-2*a^2*c^2/sqrt(a^2+b^2)/4)/(2*c^2/4) = a^2/sqrt(a^2+b^2) = a*a/sqrt(a^2+b^2) = a*cos(角PAD); 即PD⊥AB，即PD为三角形PAB的高时，三角形PDC的面积取得最小值,此时 三角形PDC的面积 = a^2*c/sqrt(a^2+b^2)/2。
  收起