在lim x趋向于1 tan (π*x/4) 的tan (π*x/2)次方 极限为多少
解：limtan(πx/4)^tan(πx/2)
=explimlntan(πx/4)^tan(πx/2)
=explimtan(πx/2)ln{1+[tan(πx/4)-1]}(等价无穷小代换)
=explimtan(πx/2)[tan(πx/4)-1]
=explim[tan(πx/4)-1]/cot(πx/2)(洛必达)
=explim(π/4)[sec²(πx/4)]/[-(π/2)csc²(πx/2)]
=exp[(-1/2)sec²(π/4)/csc²(π/2)]}
=e^(-1)
其中expx=e^x，这样可以把指数横着写。
还可以...全部
解：limtan(πx/4)^tan(πx/2)
=explimlntan(πx/4)^tan(πx/2)
=explimtan(πx/2)ln{1+[tan(πx/4)-1]}(等价无穷小代换)
=explimtan(πx/2)[tan(πx/4)-1]
=explim[tan(πx/4)-1]/cot(πx/2)(洛必达)
=explim(π/4)[sec²(πx/4)]/[-(π/2)csc²(πx/2)]
=exp[(-1/2)sec²(π/4)/csc²(π/2)]}
=e^(-1)
其中expx=e^x，这样可以把指数横着写。
还可以先用代换令t=1-x，这样t→0可以用更多的等价无穷小代换
原式=limtan[π(1-t)/4]^tan[(π/2)-(πt/2)]
=limtan[(π/4)-(πt/4)]^cot(πt/2)
=lim{[1-tan(πt/4)]/[1+tan(πt/4)]}^cot(πt/2)
=lim{1+[-2tan(πt/4)]/[1+tan(πt/4)]}^cot(πt/2)
=explim[-2tan(πt/4)]/{[1+tan(πt/4)]tan(πt/2)}
=explim[-2(πt/4)/(πt/2)]
=1/e。
收起
