中考数学矩形ABCD中，AB=根
矩形ABCD中，AB=根号2，E是BC上一动点，连接AE，过点D做DF⊥AE,垂足为F，设BE=x，∠ADF的余切值为y，求
（1）若存在点E，使得△ABE,△ADF,与四边形CDFE的面积比为3：4：5，求矩形ABCD的面积？为什么？
如图
已知△ABE，△ADF和四边形CDFE的面积之比为3:4:5
设△ABE的面积为3S，则△ADF的面积为4S，四边形CDFE的面积为5S
那么，矩形ABCD的面积为3S+4S+5S=12S
而，矩形ABCD的面积=AB*AD=√2*AD=12S
所以，AD=6√2S
设∠ADF=θ，那么∠BAE=θ
所以，y=tanθ=√2/x
在Rt△ABE中由勾...全部
矩形ABCD中，AB=根号2，E是BC上一动点，连接AE，过点D做DF⊥AE,垂足为F，设BE=x，∠ADF的余切值为y，求
（1）若存在点E，使得△ABE,△ADF,与四边形CDFE的面积比为3：4：5，求矩形ABCD的面积？为什么？
如图
已知△ABE，△ADF和四边形CDFE的面积之比为3:4:5
设△ABE的面积为3S，则△ADF的面积为4S，四边形CDFE的面积为5S
那么，矩形ABCD的面积为3S+4S+5S=12S
而，矩形ABCD的面积=AB*AD=√2*AD=12S
所以，AD=6√2S
设∠ADF=θ，那么∠BAE=θ
所以，y=tanθ=√2/x
在Rt△ABE中由勾股定理得到：AE^2=AB^2+BE^2=x^2+2
所以，AE=√(x^2+2)
因为Rt△ABE∽Rt△DFA
所以，(4S/3S)=(AD/AE)^2
===> 4/3=[(6√2S)/√(x^2+2)]^2
===> x^2+2=54s^2………………………………………………（1）
而，S△ABE=(1/2)*AB*BE=(√2/2)x=3S
===> (1/2)x^2=9S^2
===> x^2=18S^2…………………………………………………（2）
联立(1)(2)得到：S=√2/6，x=1
所以，矩形ABCD的面积=12S=2√2
（2）对（1）中求出的矩形ABCD，连接CF，当BE=？时，△CDF是等腰三角形？请说明过程
由(1)知，AD=6√2S=6√2*(√2/6)=2
AE=√(x^2+2)
因为△ABE∽△DFA，所以：AD/AE=DF/AB
即，2/√(x^2+2)=DF/√2
所以，DF=2√2/√(x^2+2)
CD=AB=√2
因为DF⊥AE，DC⊥CE，所以C、D、F、E四点共圆
则，∠DEC=∠DFC
而，∠DEC=∠ADE
所以，∠ADE=∠DFC
又，∠CDF=∠EAD=90°-θ
所以，△CDF∽△EAD
那么，CF/DE=CD/AE
===> CF/√[(2-x)^2+2]=√2/√(x^2+2)
===> CF=√(2x^2-8x+12)/√(x^2+2)
△CDF为等腰三角形，所以：
①若DF=CD，即：2√2/√(x^2+2)=√2
===> x=√2
②若DF=CF，即：2√2/√(x^2+2)=√(2x^2-8x+12)/√(x^2+2)
===> x=2-√2
③若CD=CF，即：√2=√(2x^2-8x+12)/√(x^2+2)
===> x=1。
收起
