复数2已知Z为复数,若关于x的方
题目应该是:
已知Z为复数,若关于“z”的方程Z+a|Z+1|+i=0有解,求实数a的取值范围。
解:变为 z+i = -a|z+1|
因为 a 是实数,所以 右边是实数,从而 左边也为实数
故设 z+i=m(m是实数),则 z=m-i
代入方程 得 m = -a|(m+1)-i|
即 m = -a√[(m+1)²+1]
即要求此关于 m 的方程有解(m是实数)
-a = m / √(m²+2m+2)
若 a=0, 则 m=0,故 z有解,符合要求;
若 a≠0, 则 m≠0,从而
若 m>0 ,则 a = -1/√[1+2(1/m)+2(1/m)²]
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题目应该是:
已知Z为复数,若关于“z”的方程Z+a|Z+1|+i=0有解,求实数a的取值范围。
解:变为 z+i = -a|z+1|
因为 a 是实数,所以 右边是实数,从而 左边也为实数
故设 z+i=m(m是实数),则 z=m-i
代入方程 得 m = -a|(m+1)-i|
即 m = -a√[(m+1)²+1]
即要求此关于 m 的方程有解(m是实数)
-a = m / √(m²+2m+2)
若 a=0, 则 m=0,故 z有解,符合要求;
若 a≠0, 则 m≠0,从而
若 m>0 ,则 a = -1/√[1+2(1/m)+2(1/m)²]
因为 m∈(0, +∞) 所以 1/m ∈ (0, +∞)
1+2(1/m)+2(1/m)² ∈ (1, +∞)
√[1+2(1/m)+2(1/m)²] ∈ (1, +∞)
1/√[1+2(1/m)+2(1/m)²] ∈ (0, 1)
-1/√[1+2(1/m)+2(1/m)²] ∈ (-1, 0)
即 a ∈ (-1, 0) ;
若 m<0 ,则 a = 1/√[1+2(1/m)+2(1/m)²]
因为 m∈(-∞, 0) 所以 1/m ∈ (-∞, 0)
1+2(1/m)+2(1/m)² = 2[(1/m) + 1/2]² + 1/2 ∈ (1/2, +∞)
√[1+2(1/m)+2(1/m)²] ∈ [(√2)/2, +∞)
1/√[1+2(1/m)+2(1/m)²] ∈ (0, (√2)/2]
即 a ∈ (0, (√2)/2]
综上所述 a ∈ ( -1 , (√2)/2 ]
。收起