急求:1999年全国初中数学竞赛、全国初中数学联合竞赛等试卷
2006年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分。以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。 不填、多填或错填得零分)1.在高速公路上,从3千米处开始,每隔4千米经过一个限速标志牌;并且从10千米处开始,每隔9千米经过一个速度监控仪.刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施,那么第二次同时经过这两种设施的千米数是()。 (A)36(B)37(C)55(D)90答:C.解:因为4和9的最小公倍数为36,19+36=55,所以第二次同时经过这两种设施是在55千米处。故选C.2.已知...全部
2006年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分。以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。
不填、多填或错填得零分)1.在高速公路上,从3千米处开始,每隔4千米经过一个限速标志牌;并且从10千米处开始,每隔9千米经过一个速度监控仪.刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施,那么第二次同时经过这两种设施的千米数是()。
(A)36(B)37(C)55(D)90答:C.解:因为4和9的最小公倍数为36,19+36=55,所以第二次同时经过这两种设施是在55千米处。故选C.2.已知,,且,则的值等于()(A)-5(B)5(C)-9(D)9答:C.解:由已知可得,.又,所以,解得.故选C.3.Rt△ABC的三个顶点,,均在抛物线上,并且斜边AB平行于x轴.若斜边上的高为,则()(A)(B)(C)(D)答:B.解:设点A的坐标为,点C的坐标为(),则点B的坐标为,由勾股定理,得,,,所以.由于,所以,故斜边AB上高.故选B.4.一个正方形纸片,用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;拿出其中一部分,再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;又从得到的三部分中拿出其中之一,还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去,最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片,则至少要剪的刀数是()(A)2004(B)2005(C)2006(D)2007答:B.解:根据题意,用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时,每剪开一次,使得各部分的内角和增加360°.于是,剪过次后,可得(+1)个多边形,这些多边形的内角和为(+1)×360°.因为这(+1)个多边形中有34个六十二边形,它们的内角和为34×(62-2)×180°=34×60×180°,其余多边形有(+1)-34=-33(个),而这些多边形的内角和不少于(-33)×180°.所以(+1)×360°≥34×60×180°+(-33)×180°,解得≥2005.当我们按如下的方式剪2005刀时,可以得到符合条件的结论.先从正方形上剪下1个三角形,得到1个三角形和1个五边形;再在五边形上剪下1个三角形,得到2个三角形和1个六边形……如此下去,剪了58刀后,得到58个三角形和1个六十二边形.再取出33个三角形,在每个三角形上剪一刀,又可得到33个三角形和33个四边形,对这33个四边形,按上述正方形的剪法,再各剪58刀,便得到33个六十二边形和33×58个三角形.于是共剪了58+33+33×58=2005(刀).故选B.5.如图,正方形内接于⊙,点在劣弧上,连结,交于点.若,则的值为()(A)(B)(C)(D)答:D.解:如图,设⊙的半径为,,则,,.在⊙中,根据相交弦定理,得.即,所以.连结DO,由勾股定理,得,即,解得.所以,.故选D.二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)6.已知,,为整数,且+=2006,=2005.若<,则++的最大值为.答:5013.解:由+=2006,=2005,得++=+4011.因为+=2006,<,为整数,所以,的最大值为1002.于是,++的最大值为5013.7.如图,面积为的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC,其中a,b,c是整数,且b不能被任何质数的平方整除,则的值等于。
答:.解:设正方形DEFG的边长为x,正三角形ABC的边长为m,则.由△ADG∽△ABC,可得作者:221。13。21。*2006-5-312:29回复此发言--------------------------------------------------------------------------------22006全国初中数学竞赛试题及答案(全),解得.于是,由题意,a=28,b=3,c=48,所以。
8.正五边形广场ABCDE的周长为2000米.甲、乙两人分别从A,C两点同时出发,沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走,甲的速度为50米∕分,乙的速度为46米∕分。那么,出发后经过分钟,甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上.答:104.解:设甲走完x条边时,甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上,此时甲走了400x米,乙走了米.于是,且≤,所以,≤<.故x=13,此时.9.已知,且满足(表示不超过x的最大整数),则的值等于.答:6.解:因为,所以,,…,等于0或者1.由题设知,其中有18个等于1,所以==…==0,==…==1,所以,≤<.故≤<,于是≤<,所以6.10.小明家电话号码原为六位数,第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8,成为一个七位数的电话号码;第二次升位是在首位号码前加上数字2,成为一个八位数的电话号码.小明发现,他家两次升位后的电话号码的八位数,恰是原来电话号码的六位数的81倍,则小明家原来的电话号码是.答:282500.解:设原来电话号码的六位数为,则经过两次升位后电话号码的八位数为.根据题意,有81×=.记,于是,解得.因为≤≤,所以≤<,故<≤.因为为整数,所以=2.于是.所以,小明家原来的电话号码为282500.三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分)11(A).已知,,为互质的正整数,且≤,.(1)试写出一个满足条件的x;(2)求所有满足条件的.解:(1)满足条件.……………………5分(2)因为,,为互质的正整数,且≤,所以,即.当a=1时,,这样的正整数b不存在.当a=2时,,故b=1,此时.当a=3时,,故b=2,此时.当a=4时,,与互质的正整数b不存在.当a=5时,,故b=3,此时.当a=6时,,与互质的正整数b不存在.当a=7时,,故b=3,4,5,此时,,.当a=8时,,故b=5,此时.所以,满足条件的所有分数为,,,,,,.…………………15分12(A).设,,为互不相等的实数,且满足关系式①及,②求的取值范围.解法1:由①-2×②得,所以.当时,.…………………10分又当=时,由①,②得,③,④将④两边平方,结合③得,化简得,故,解得,或.所以,的取值范围为且,.……………15分解法2:因为,,所以==,所以.又,所以,为一元二次方程⑤的两个不相等实数根,故,所以.当时,.…………………10分另外,当=时,由⑤式有,即,或,解得,或.所以,的取值范围为且,.…………………15分13(A).如图,点P为⊙O外一点,过点P作⊙O的两条切线,切点分别为A,B.过点A作PB的平行线,交⊙O于点C.连结PC,交⊙O于点E;连结AE,并延长AE交PB于点K.求证:.证明:因为AC‖PB,所以.又PA是⊙O的切线,所以.故,于是△KPE∽△KAP,所以,作者:221。
13。21。
*2006-5-312:29回复此发言--------------------------------------------------------------------------------32006全国初中数学竞赛试题及答案(全)即.………………5分由切割线定理得,所以,KP=KB.…………………10分因为AC‖PB,所以,△KPE∽△ACE,于是,故,即.…………………15分14(A).2006个都不等于119的正整数排列成一行数,其中任意连续若干项之和都不等于119,求的最小值.解:首先证明命题:对于任意119个正整数,其中一定存在若干个(至少一个,也可以是全部)的和是119的倍数.事实上,考虑如下119个正整数,,…,,①若①中有一个是119的倍数,则结论成立.若①中没有一个是119的倍数,则它们除以119所得的余数只能为1,2,…,118这118种情况.所以,其中一定有两个除以119的余数相同,不妨设为和(≤<≤),于是,从而此命题得证.…………………5分对于中的任意119个数,由上述结论可知,其中一定有若干个数的和是119的倍数,又由题设知,它不等于119,所以,它大于或等于2×119,又因为,所以≥.②…………………10分取,其余的数都为1时,②式等号成立.所以,的最小值为3910.…………………15分11(B).已知△中,是锐角.从顶点向边或其延长线作垂线,垂足为;从顶点向边或其延长线作垂线,垂足为.当和均为正整数时,△是什么三角形?并证明你的结论.解:设,均为正整数,则,所以,mn=1,2,3.…………………5分(1)当mn=1时,,,此时.所以垂直平分,垂直平分,于是△是等边三角形.(2)当mn=2时,,,此时,或,所以点与点重合,或点与点重合.故,或,于是△是等腰直角三角形.(3)mn=3时,,,此时,或.于是垂直平分,或垂直平分.故,或,于是△是顶角为的等腰三角形.…………………15分12(B).证明:存在无穷多对正整数,满足方程.证法1:原方程可以写为,于是是完全平方数.…………………5分设,其中k是任意一个正整数,则.…………………10分于是,或.所以,存在无穷多对正整数(其中k是正整数)满足题设方程.…………………15分证法2:原方程可写为,所以可设(x是正整数),①取.②…………………5分①-②得.令(y是任意正整数),则.…………………10分于是.所以,存在无穷多对正整数(其中y是任意正整数)满足题设方程.…………………15分13(B).如图,已知锐角△ABC及其外接圆⊙O,AM是BC边的中线.分别过点B,C作⊙O的切线,两条切线相交于点X,连结AX.求证:.证明:设AX与⊙O相交于点,连结OB,OC,.又M为BC的中点,所以,连结OX,它过点M.因为,所以.①又由切割线定理得.②…………………5分由①,②得,于是△XMA∽△,所以.…………………10分又,所以,于是.…………………15分14(B).10个学生参加n个课外小组,每一个小组至多5个人,每两个学生至少参加某一个小组,任意两个课外小组,至少可以找到两个学生,他们都不在这两个课外小组中.证明:n的最小值为6.证明:设10个学生为,n个课外小组为.首先,每个学生至少参加两个课外小组.否则,若有一个学生只参加一个课外小组,设这个学生为,由于每两个学生都至少在某一小组内出现过,所以其它9个学生都与他在同一组出现,于是这一组就有10个人了,矛盾.…………………5分若有一学生恰好参加两个课外小组,不妨设恰好参加,由题设,对于这两组,至少有两个学生,他们没有参加这两组,于是他们与没有同过组,矛盾.所以,每一个学生至少参加三个课外小组.于是n个课外小组的人数之和不小于=30.另一方面,每一课外小组的人数不超过5,所以n个课外小组的人数不超过5n,故≥,所以≥.…………………10分下面构造一个例子说明是可以的.,,,,,.容易验证,这样的6个课外小组满足题设条件.所以,n的最小值为6.…………………15分。收起