证明：如果向量b可由向量组a1,a2,...ar线性表示，则表示法是唯一的充分必要条件是向量组a1,a2,...ar线性无关。
必要性。已知向量b可由向量组a1,a2,。。。,ar线性表示，且表示法唯一。 设b＝k1a1＋k2a2＋……＋krar。假设向量组a1，a2，。。。，ar线性相关，则存在一组不全为零的数t1，t2，……，tr，使得t1a1＋t2a2＋……＋trar＝0所以，b＝(k1 t1)a1＋(k2 t2)a2＋……＋(kr tr)ar，因为t1，t2，……，tr不全为零，所以b＝k1a1＋k2a2＋……＋krar与b＝(k1 t1)a1＋(k2 t2)a2＋……＋(kr tr)ar是两种不同的表示方法，与表示法唯一矛盾。 所以，向量组a1，a2，。。。，ar线性无关充分性。已知向量组a1，a2，。...全部
必要性。已知向量b可由向量组a1,a2,。。。,ar线性表示，且表示法唯一。 设b＝k1a1＋k2a2＋……＋krar。假设向量组a1，a2，。。。，ar线性相关，则存在一组不全为零的数t1，t2，……，tr，使得t1a1＋t2a2＋……＋trar＝0所以，b＝(k1 t1)a1＋(k2 t2)a2＋……＋(kr tr)ar，因为t1，t2，……，tr不全为零，所以b＝k1a1＋k2a2＋……＋krar与b＝(k1 t1)a1＋(k2 t2)a2＋……＋(kr tr)ar是两种不同的表示方法，与表示法唯一矛盾。
所以，向量组a1，a2，。。。，ar线性无关充分性。已知向量组a1，a2，。。。，ar线性无关。 假设向量b由向量组a1,a2,。。。ar线性表示的表示式不唯一，设b＝m1a1＋m2a2＋……＋mrar与b＝n1a1＋n2a2＋……＋nrar是两种不同的表示，则(m1－n1)a1＋(m2－n2)a2＋……＋(mr－nr)ar＝0，其中m1－n1，m2－n2，……，mr－nr不全为零，所以a1，a2，……，ar线性相关，与已知矛盾。
所以向量b由向量组a1,a2,。。。ar线性表示的表示法唯一。收起
