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线性无关的问题

假设α,β,γ,为Ax=B的三个线性无关解 证明:α-β, β-γ 为Ax=0的两个线性无关的解向量

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2009-09-30

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    设α,β,γ为Ax=B的三个线性无关解 证明:α-β,β-γ 为Ax=0的两个线性无关的解向量。 证明 因为α,β是Ax=B的两个解, 所以 Aα=B,Aβ=B, 于是 A(α-β)=Aα-Aβ=B-B=0, 因此 α-β是Ax=0的解向量, 同理 β-γ也是Ax=0的解向量。
     下面证明:α-β,β-γ线性无关。 设数k1,k2满足:k1*(α-β)+k2*(β-γ)=0, 则 k1*α+(-k1+k2)*β+(-k2)*γ=0, 因为α,β,γ线性无关, 所以有 k1=(-k1+k2)=(-k2)=0, 于是 k1=k2=0, 故知 α-β,β-γ线性无关。
     因此,α-β,β-γ是Ax=0的两个线性无关的解向量。

2009-09-25

98 0

设两者线性相关,则可解出beta为另两个解的线性组合,这和第一句话相矛盾。因此两者线性无关。

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