X+Y+Z=2根号5
最简单的就是用柯西不等式。
解一：(配方法)由x+y+z=2√5得z=2√5–x-y,
则x²+2y²+z²=x²+2y²+(2√5–x-y)²=2x²+3y²+2xy-4√5(x+y)+20
=2(x+1/2y)²+5/2y²-4√5(x+y)+20,
令x²+2y²+z²=2(x+1/2y+m)²+5/2(y+n)²+k（待定系数法）
=2(x+1/2y)²+5/2y²+4mx+(2m+5n)y+5n²/2+...全部
最简单的就是用柯西不等式。
解一：(配方法)由x+y+z=2√5得z=2√5–x-y,
则x²+2y²+z²=x²+2y²+(2√5–x-y)²=2x²+3y²+2xy-4√5(x+y)+20
=2(x+1/2y)²+5/2y²-4√5(x+y)+20,
令x²+2y²+z²=2(x+1/2y+m)²+5/2(y+n)²+k（待定系数法）
=2(x+1/2y)²+5/2y²+4mx+(2m+5n)y+5n²/2+2m²+12+k
∴4m=-4√5,2m+5n=-4√5,k=8
∴m=-√5,n=-2√5/5,
即x²+2y²+z²=2(x+1/2y-√5)²+5/2(y+-2√5/5)²+8≥8
∴x²+2y²+z²的最小值为8。
解二：(向量法)设空间向量m=(x,√2y,z),向量n=(1,√2/2,1),
则m•n=x+y+z=2√5,|m|=√(x²+2y²+z²),|n|=√(5/2)
因为向量公式|m•n|≤|m||n|,所以2√5≤√(x²+2y²+z²)•√(5/2)
化简得x²+2y²+z²≥8,∴x²+2y²+z²的最小值为8
解三：令F(x,y,z)=x²+2y²+z²+λ(x+y+z-2√5)
偏F/偏x=2x+λ
偏F/偏y=4y+λ
偏F/偏z=2z+λ
令
偏F/偏x=0
偏F/偏y=0
偏F/偏z=0
又x+y+z=2√5
解得 x=2y=z
又x+y+z=2√5
故 x=(4/5)√5,y=(2/5)√5,z=(4/5)√5
这时,x²+2y²+z²=10y²=10[(2/5)√5]²=8
为最小值。
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