数学勾股定理？
勾股定理證明評鑑
作者：梁子??
勾股定理（又叫「?氏定理」）說：「在一??直角三角形中，斜??長的平方等於??l直角??長平方之和。」?甲C，人??@?l定理的認識，少說也超過 4000 年！又??載，現?r世上一共有超過 300 ???@定理的證明！
我覺得，證明多，固然是表示這??定理十分重要，因而有很多人?λ鞒鲅芯浚坏C明多，同?r令人眼花??y，亦未能?蛞会??血地反映出定理本身和證明中的??W意義。 故此，我在這篇文章中，?榇蠹疫x出了 7 ??我認?橹匾淖C明，和大家一起分析和欣賞這些證明的特色，與及認識它??的?v史背境。
證明一
?D一
在?D一中，D A...全部
勾股定理證明評鑑
作者：梁子??
勾股定理（又叫「?氏定理」）說：「在一??直角三角形中，斜??長的平方等於??l直角??長平方之和。」?甲C，人??@?l定理的認識，少說也超過 4000 年！又??載，現?r世上一共有超過 300 ???@定理的證明！
我覺得，證明多，固然是表示這??定理十分重要，因而有很多人?λ鞒鲅芯浚坏C明多，同?r令人眼花??y，亦未能?蛞会??血地反映出定理本身和證明中的??W意義。
故此，我在這篇文章中，?榇蠹疫x出了 7 ??我認?橹匾淖C明，和大家一起分析和欣賞這些證明的特色，與及認識它??的?v史背境。
證明一
?D一
在?D一中，D ABC ?橐恢苯侨切危渲?Ð A ?橹苯恰Ｎ??在? AB、BC 和 AC 之上分?e?上三??正方形 ABFG、BCED 和 ACKH。
過 A 點?一直? AL 使其垂直於 DE ?K交 DE 於 L，交 BC 於 M。不難證明，D FBC 全等於 D ABD（S。A。S。）。所以正方形 ABFG 的面積 = 2 ´ D FBC 的面積 = 2 ´ D ABD 的面積 = 長方形 BMLD 的面積。
?似地，正方形 ACKH 的面積 = 長方形 MCEL 的面積。即正方形 BCED 的面積 = 正方形 ABFG 的面積 + 正方形 ACKH 的面積，亦即是 AB2 + AC2 = BC2。
由此證??了勾股定理。
這??證明巧妙地運用了全等三角形和三角形面積與長方形面積的關?S?磉M行。不?稳绱耍唧w地解?了，「??l直角??長平方之和」的?缀我饬x，這就是以 ML ?⒄叫畏殖?BMLD 和 MCEL 的???部分！
這??證明的另一??重要意義，是在於它的出?。
這??證明是出自古希臘大??W?W?桌锏弥帧?
?W?桌锏茫‥uclid of Alexandria）約生於公元前 325 年，卒於約公元前 265 年。他曾?在古希臘的文化中心???v山大城工作，?K完成了著作《?缀卧尽贰！?缀卧尽肥且徊???r代的著作，它收集了過去人????W的知識，?K利用公理法建立起演繹體系，?︶崾??W發展產生深遠的影?。
而?械牡谝痪砻} 47，就?載著以上的一???垂啥ɡ淼淖C明。
證明二
?D二
?D二中，我??????大小相同的直角三角形放在一??大正方形之?龋粢獯笳叫沃虚g的?\黃色部分，亦都是一??正方形。
設直角三角形的斜?長度??c，其餘?蛇?的長度??a 和 b，?t由於大正方形的面積??等於 4 ??直角三角形和中間?\黃色正方形的面積之和，所以我??有
(a + b)2 = 4(1/2 ab) + c2
展開得 a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
化?得 a2 + b2 = c2
由此得知勾股定理成立。
證明二可以算是一??非常直接了?的證明。最有趣的是，如果我????D中的直角三角形翻轉，拼成以下的?D三，我??依然可以利用相?似的手法去證明勾股定理，方法如下：
?D三
由面積?算可得 c2 = 4(1/2 ab) + (b - a)2
展開得 = 2ab + b2 - 2ab + a2
化?得 c2 = a2 + b2（定理得證）
?D三的另一??重要意義是，這證明最先是由一??中?颂岢龅模??載，這是出自三??r代（即約公元 3 世紀的?r候）??内w爽。
趙爽?椤吨荀滤憬?》作注??r，在?屑尤肓艘环Q?椤腹垂?A方?D」（或「弦?D」）的插?D，亦即是上面?D三的?D形了。
證明三
?D四
?D四一共?出了???綠色的全等的直角三角形和一???\黃色的等腰直角三角形。
不難看出，整???D就?成一??梯形。利用梯形面積公式，我??得到︰
1/2(a + b)(b + a) = 2(1/2 ab) + 1/2 c2
展開得 1/2 a2 + ab + 1/2 b2 = ab + 1/2 c2
化?得 a2 + b2 = c2（定理得證）
有一些??ψC明三十分推祟，這是由於這??證明是出自一位美??統之手！
在 1881 年，加菲（James A。
Garfield； 1831 - 1881）?選成?槊??20 任?統，可惜在?選後 5 ??月，就遭行刺身亡。至於勾股定理的有關證明，是他在 1876 年提出的。
我??人覺得證明三?K?]有甚麼???僦?，它其??和證明二一?樱o不過它?⒆C明二中的?D形切開一半罷了！更何?r，我不覺得梯形面積公式比正方形面積公式??危?
又，如果?囊??老??的角度?砜矗C明二和證明三都有一??共同的缺點，它就是需要到?a等式 (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 了。
雖然這???a等式一般都包括在中二的課程之中，但有很多?W生都未能完全掌握，由於以上???證明都使用了它，往往在教?W上?霈F?W生不明白和跟不上等??題。
證明四
(a) (b) (c)
?D五
證明四是這?幼龅模喝?D五(a)，我??先?一??直角三角形，然後在最短的直角?旁向三角形那一?加上一??正方形，?榱饲宄鹨?，以紅色表示。
又在另一?l直角?下面加上另一??正方形，以藍色表示。接著，以斜?的長度?一??正方形，如?D五(b)。我??打算證明紅色和藍色???正方形面積之和，??好等於以斜??出?淼恼叫蚊娣e。
留意在?D五(b)中，?加入斜?的正方形後，紅色和藍色有部分的地方超出了斜?正方形的範?，F在我?⒊龉?牟糠址?e以黃色、紫色和綠色表示出?怼Ｍ?r，在斜?正方形?龋?s有一些部分未曾填上?色。
現在依照?D五(c)的方法，?⒊龉?娜切危迫胛从刑钌牡胤健Ｎ??發現，超出範?牟糠??好填?M未曾填色的地方！由此我??發現，?D五(a)中，紅色和藍色?刹糠置娣e之和，必定等於?D五(c)中斜?正方形的面積。
由此，我??就證??了勾股定理。
這??證明是由三??r代魏???W家?⒒账岢龅摹Ｔ谖壕霸哪辏垂?263 年），?⒒?楣偶毒耪滤阈g》作注?。在注?中，他?了一幅像?D五(b)中的?D形?碜C明勾股定理。
由於他在?D中以「青出」、「朱出」表示黃、紫、綠三??部分，又以「青入」、「朱入」解?如何?⑿边?正方形的空白部分填?M，所以後世??W家都稱這?D?椤盖嘀烊氤?D」。亦有人用「出入相補」這一詞?肀硎具@??證明的原理。
在?v史上，以「出入相補」的原理證明勾股定理的，不祇?⒒找蝗耍缭谟《取⒃诎⒗澜纭⑸踔梁踉?W洲，都有出現過?似的證明，祇不過他??所繪的?D，在外表上，或許??⒒盏?D有些少分?e。
下面的?D六，就是??D五(b)和?D五(c)??D結合出?淼摹Ａ粢馕医?已?⑿≌叫沃匦庐?在三角形的外面。看一看?D六，我??曾??過?似的?D形?幔?
?D六
其???D六不就是?D一?幔克o不過是??D一?牧硪??角度?出罷了。
?然，?中分割正方形的方法就有所不同。
??б惶幔C明四比之前的證明有一??很明顯的分?e，證明四?]有?算的部分，整??證明就是?慰恳???K?D形而得出。我不知道大家是否接受這些?]有任何?算步驟的「證明」，不過，我自己就非常喜?g這些「?o字證明」了。
?D七
在多種「?o字證明」中，我最喜?g的有???。?D七是其中之一。做法是?⒁?l垂直?和一?l水平?，?⑤^大直角?的正方形分成 4 分。之後依照?D七中的?色，????直角?的正方形填入斜?正方形之中，便可完成定理的證明。
事??上，以?似的「拼?D」方式所做的證明非常之多，但在這裏就未有打算?⑺??一一盡?了。
另一??「?o字證明」，可以算是最巧妙和最??蔚模椒ㄈ缦拢?
證明五
(a) (b)
?D八
?D八(a)和?D二一?樱际窃谝??大正方形中，放置了4??直角三角形。
留意?D中?\黃色部分的面積等於 c2。現在我????D八(a)中的 4 ??直角三角形移位，成??D八(b)。明顯，?D八(b)中????\黃色正方形的面積之和??是 a2 + b2。但由於(a)、(b)??D中的大正方形不?，4 ??直角三角形亦相等，所以餘下????\黃色部的面積亦??相等，因此我??就得到 a2 + b2 = c2，亦即是證明了勾股定理。
?哆@??證明的出?，有很多說法：有人說是出自中?糯??W?挥腥讼嘈女?年?達哥拉斯就是做出了這??證明，因而宰?⒘艘话兕^牛??c祝。?之，我覺得這是?多證明之中，最??魏妥羁斓囊??證明了。
不要看輕這??證明，它其??包含著另一??意義，?K不是每一??人都容易察覺的。我現在?⑸厦????D「?罕狻梗??D九：
(a) (b)
?D九
?D九(a)中間的?\黃色部分是一??平行四?形，它的面積可以用以下算式求得：mn sin(a + b)，其中 m 和 n 分?e是???直角三角形斜?的長度。
而?D九(b)中的?\黃色部分是???長方形，其面積之和是：(m cos a)(n sin b) + (m sin a)(n cos b)。正如上面一?樱?a)、(b)??D?\黃色部分的面積是相等的，所以??墒浇Y合?K消去共有的倍?担??得：sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a，這就是三角?W中最重要的複角公式！原?砉垂啥ɡ砗瓦@?l複角公式是?碜韵嗤淖C明的！
在證明二中，?介紹完展開 (a + b)2 的方法之後，我提出了趙爽的「弦?D」，這是一??展開 (a - b)2 的方法。
而證明五亦有一??相似的情?r，在這裏，我??除了一???似 (a + b) 的「?o字證明」外，我??亦有一???似 (a - b) 的「?o字證明」。這方法是由印度??W家婆什迦羅（Bhaskara; 1114 - 1185）提出的，??D十。
(a) (b)
?D十
證明六
?D十一
?D十一中， 我???⒅虚g的直角三角形 ABC 以 CD 分成?刹糠郑渲?Ð C ?橹苯牵珼 位於 AB 之上?K且 CD ^ AB。
設 a = CB，b = AC，c = AB，x = BD，y = AD。留意?D中的三??三角形都是互相相似的，?K且 D DBC ~ D CBA ~ D DCA，所以
= 和 =
由此得 a2 = cx 和 b2 = cy
??墒浇Y合，得 a2 + b2 = cx + cy = c(x + y) = c2。
定理得證。
證明六可以說是很特?e的，因?樗潜疚乃凶C明中，唯一一??證明?]有使用到面積的概念。我相信在一些舊版的教科?校苍褂眠^證明六作?楣垂啥ɡ淼淖C明。不過由於這??證明需要相似三角形的概念，而且又要????三角形翻?砀踩ィ喈?複雜，到今天已很少教科??裼茫坪跻驯蝗??日?u淡忘了！
可是，如果大家?心地想想，又?l現這??證明其??和證明一（即?W?桌锏玫淖C明）?]有分?e！雖然這??證明?]有提及面積，但 a2 = cx 其??就是表示 BC 上正方形的面積等於由 AB 和 BD ?蛇?所組成的長方形的面積，這亦即是?D一中黃色的部分。
?似地，b2 = cy 亦即是?D一中深綠色的部分。由此看?恚???證明都是依?嗤脑碜龀?淼模?
證明七
(a) (b) (c)
?D十二
在?D十二(a)中，我????r未知道三??正方形面積之間有甚麼直接的關?S，但由於???相似?D形面積之比等於它?????之比的平方，而任何正方形都相似，所以我??知道面積 I : 面積 II : 面積 III = a2 : b2 : c2。
不過，?心地想想就?l現，上面的推?中，「正方形」的要求是多餘的，其??祇要是一??相似的?D形，例如?D十二(b)中的半?A，或者是?D十二(c)中的古怪形狀，祇要它??互相相似，那麼面積 I : 面積 II : 面積 III 就必等於 a2 : b2 : c2了！
在芸芸?多的相似?D形中，最有用的，莫過於與原本三角形相似的直角三角形了。
(a) (b)
?D十三
在?D十三(a)中，我在中間的直角三角形三?上分?e?上三??和中間三角形相似的直角三角形。留意：第 III 部分其??和原本三角形一?哟螅悦娣e亦相等；如果我???娜切沃苯堑捻?點引一?l垂直?至斜?，?⒅虚g的三角形分成?煞郑屈N我???l現?D十三(a)的面積 I ??好等於中間三角形左?的面積，而面積 II 亦??好等於右?的面積。
由?D十三(b)可以知道：面積 I + 面積 II = 面積 III。與此同?r，由於面積 I : 面積 II : 面積 III = a2 : b2 : c2，所以 a2 + b2 = c2。
。收起
