证明:如果数域K上的n级矩阵A,B满足
1。
取B的一个特征值λ,则有|B-λE|=0。
==>
A(B-λE)-(B-λE)A=A
命C=B-λE。
2。
A^2C=A(CA+A)=(CA+A)A+A^2=
=CA^2+2A^2,
同理递推可得:
任意正整数m,
A^mC=CA^2+mA^2=(C+mE)A^m,
==》
|A^mC|=|(C+mE)A^m|=
==》
0=|A|^m|C|=|(C+mE)||A|^m
取-m不是C的一个特征值,则|(C+mE)|≠0
==》
|A|^m=0,则A不可逆。
。
1。
取B的一个特征值λ,则有|B-λE|=0。
==>
A(B-λE)-(B-λE)A=A
命C=B-λE。
2。
A^2C=A(CA+A)=(CA+A)A+A^2=
=CA^2+2A^2,
同理递推可得:
任意正整数m,
A^mC=CA^2+mA^2=(C+mE)A^m,
==》
|A^mC|=|(C+mE)A^m|=
==》
0=|A|^m|C|=|(C+mE)||A|^m
取-m不是C的一个特征值,则|(C+mE)|≠0
==》
|A|^m=0,则A不可逆。
。收起