高数微分到底是什么意思啊?
在数学中,微分是对函数的局部变化率的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时,函数的值是怎样改变的。当自变量为固定值 需要求出曲线上一点的斜率时,前人往往采用作图法,将该点的切线画出,以切线的斜率作为该点的斜率。 然而,画出来的切线是有误差的,也就是说,以作图法得到的斜率并不是完全准确的斜率。微分最早就是为了从数学上解决这一问题而产生的。 以y=x^2为例,我们需要求出该曲线在(3,9)上的斜率,我们可以假设在y=x^2上有另一点(3 δx,9 δy),画一条过这两点的直线,该直线的斜率为δy/δx。 我们知道,这两点之间的距离越短,过这两点直线的斜率就...全部
在数学中,微分是对函数的局部变化率的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时,函数的值是怎样改变的。当自变量为固定值 需要求出曲线上一点的斜率时,前人往往采用作图法,将该点的切线画出,以切线的斜率作为该点的斜率。
然而,画出来的切线是有误差的,也就是说,以作图法得到的斜率并不是完全准确的斜率。微分最早就是为了从数学上解决这一问题而产生的。 以y=x^2为例,我们需要求出该曲线在(3,9)上的斜率,我们可以假设在y=x^2上有另一点(3 δx,9 δy),画一条过这两点的直线,该直线的斜率为δy/δx。
我们知道,这两点之间的距离越短,过这两点直线的斜率就越接近所求的斜率m,当δx与δy的值变得无限接近于0时,直线的斜率就是点的斜率。 当x=3 δx时,y=9 δy,也就是说, (3 δx)^2=9 δy 9 6δx (δx)^2=9 δy （展开） 6δx (δx)^2=δy （两边减去9） δy/δx=6 δx （两边除以δx） ∵limδx→0 m=δy/δx ∴limδx→0 m=6 δx=6 我们得出,y=x^2在点(3,9)处的斜率为6。
当自变量为任意值 在很多情况下,我们需要求出曲线上许多点的斜率,如果每一个点都按上面的方法求斜率,将会消耗大量时间,计算也容易出现误差,我们现在仍以y=x^2为例,计算图象上任意一点的斜率m。
假设该点为(x,y),做对照的另一点为(x δx,y δy),我们按上面的方法再计算一遍： (x δx)^2=y δy x^2 2xδx (δx)^2=y δy （展开） 2xδx (δx)^2=δy （y=x^2,两边减去y） δy/δx=2x δx （两边除以δx） ∵limδx→0 m=δy/δx ∴limδx→0 m=2x δx=2x 我们得出,y=x^2在点(x,y)处的斜率为2x。
limδx→0 δy/δx=m被记作dy/dx=m。定义 微分设函数y = f(x)在x0的邻域内有定义,x0及x0 Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x0 Δx) − f(x0)可表示为 Δy = AΔx o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数）,而o(Δx0)是比Δx高阶的无穷小,那么称函数f(x)在点x0是可微的,且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分,记作dy,即dy = AΔx。
函数的微分是函数增量的主要部分,且是Δx的线性函数,故说函数的微分是函数增量的线性主部（△x→0）。 通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分,记作dx,即dx = Δx。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。
函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此,导数也叫做微商。 当自变量X改变为X △X时,相应地函数值由f(X)改变为f(X △X),如果存在一个与△X无关的常数A,使f(X △X)-f(X)和A·△X之差是△X→0关于△X的高阶无穷小量,则称A·△X是f(X)在X的微分,记为dy,并称f(X)在X可微。
一元微积分中,可微可导等价。记A·△X=dy,则dy=f′(X)dX。例如：d(sinX)=cosXdX。 微分概念是在解决直与曲的矛盾中产生的,在微小局部可以用直线去近似替代曲线,它的直接应用就是函数的线性化。
微分具有双重意义：它表示一个微小的量,同时又表示一种与求导密切相关的运算。微分是微分学转向积分学的一个关键概念。微分的思想就是一个线性近似的观念,利用几何的语言就是在函数曲线的局部,用直线代替曲线,而线 微分性函数总是比较容易进行数值计算的,因此就可以把线性函数的数值计算结果作为本来函数的数值近似值,这就是运用微分方法进行近似计算的基本思想。
推导 设函数在某区间内有定义,x0及x0 △x在这区间内,若函数的增量可表示为,其中A是不 依赖于△x的常数, 是△x的高阶无穷小,则称函数 在点x0可微的。 叫做函数 在点x0相应于自变量增量△x的微分,记作dy,即：dy= 。
微分dy是自变量改变量△x的线性函数,dy与△y的差 是关于△x的高阶无穷小量,我们把dy称作△y的线性主部。得出： 当△x→0时,△y≈dy。 导数的记号为： 还可以表示两个微分的比值(把△x看成dx,即:定义自变量的增量等于自变量的微分),还可表示几何意义 设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量,Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量,dy是曲 几何意义线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。
当|Δx|很小时,|Δy－dy|比|Δy|要小得多(高阶无穷小),因此在点M附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段。 同理,当自变量为多个时,可得出多元微分的定义。单项式 当函数为单项式y=ax^n（a和n为常数）的形式时,有基本公式： dy/dx=anx^(n-1)或d/dx(ax^n)=anx^(n-1) 如d/dx(x^2)=2x,d/dx(3x^5)=15x^4。
当a为常数时,d/dx(ax)=a且d/dx(a)=0。 注意：基本公式极为重要,在学习更为复杂的运算法则前请务必牢记。多项式 当函数为几个ax^n形式的单项式的和或差时,这个函数的微分只需在原函数的微分上进行加减即可。
以函数y=ax^m bx^n为例,将其拆分为两个函数u=ax^m和v=bx^n,且y=u v。 可以得出du/dx=amx^(m-1),dv/dx=bnx^(n-1)。 ∵y=u v ∴δy=δu δv ∴δy/δx=δu/δx δx/δx ∴dy/dx=du/dx dv/dx=amx^(m-1) bnx^(n-1) ∴d/dx(ax^m bx^n)=amx^(m-1) bnx^(n-1) 同理可以得出d/dx(ax^m-bx^n)=amx^(m-1) bnx^(n-1) 最后得出公式： d/dx(ax^m±bx^n)=amx^(m-1)±bnx^(n-1) 有了这两个公式,我们可以微分大部分常见的初等函数。
注意：f'(x)是函数f(x)的微分。 当需要微分(x 1)^2时,我们可以将其展开成为x^2 2x 1后将其微分,得到2x 2。然而,当我们遇到类似(3x 1)^5这样的式子时,将其展开将浪费许多时间和精力,这时我们可以使用连锁律来解决这个问题。
假设y=f(x)且z=f(y)： ∵δy/δx=(δy/δz)×(δz/δx) ∴limδx→0 δy/δx=(limδz→0 δy/δz)×(limδx→0 δz/δx) 又∵limδx→0,limδz→0 ∴limδx→0 δy/δx=(limδx→0 δy/δz)×(limδx→0 δz/δx) 得出公式： dy/dx=(dy/dz)×(dz/dx) 以y=(3x 1)^5为例,使用微分法微分： 假设z=3x 1,y=z^5。
d/dx[(3x 1)^5]=dy/dx =(dy/dz)×(dz/dx) =[d/dz(z^5)]×[d/dx(3x 1)] =(5z^4)(3) =15z^4 =15(3x 1)^4 （不需要展开） 这样我们就可以轻松得出(3x 1)^5的微分。
连锁律的应用1 连锁律一般被用来求y^n的微分（y=f(x)且n为常数）,我们可以用连锁律获得更简单的公式。 以(ax b)^n为例,假设y=ax b： d/dx(y^n) =d/dy(y^n)×dy/dx （连锁律） =[ny^(n-1)](a) =any^(n-1) =an(ax b)^(n-1) 可以得出： d/dx(y^n)=[ny^(n-1)](dy/dx) d/dx[(ax b)^n]=an(ax b)^(n-1)连锁律的应用2 在日常生活中,n除经常取整数外,还经常取1/2,即y=√z。
同样以y=√z（z是自变量为x的函数）为例,使用刚得到的公式进行微分： dy/dx =(dy/dz)×(dz/dx) （连锁律） =[0。5z^(-0。5)](dz/dx) 得出另一个公式： d/dx(√y)=(dy/dx)/(2√y) 以上两个公式可以在大多数情况下代替连锁律使用,它们比连锁律更容易使用。
当我们需要求出(x 1)(x-1)的微分时,我们可以将其展开成为x^2-1,然后进行微分,得出2x。但是当我们遇到(x 1)(x-1)^7这种式子的时候,将其展开极为繁琐,而连锁律也不能直接使用,这时我们就需要乘法律拆分这个式子,然后才能将其微分。
假设u和v都是自变量为x的函数： uv=u(v) uv δ(uv)=(u δu)(v δv) uv δ(uv)=uv uδv vδu δuδv （展开） δ(uv)=uδv vδu δuδv （两边减去uv） ∵limδx→0 δu=0且limδx→0 δv=0 ∴limδx→0 δuδv=0 ∴limδx→0 δ(uv)=limδx→0 (uδv) limδx→0 (vδu) ∴duv/dx=u(dv/dx) v(du/dx) 最后得出乘法律： d/dx(uv)=u(dv/dx) v(du/dx) 我们用乘法律微分(x 1)(x-1)^7： d/dx[(x 1)(x-1)^7] =(x 1)d/dx[(x-1)^7] [(x-1)^7]d/dx(x 1) （乘法律） =(x 1)[7(x-1)^6] (x-1)[(x-1)^6] （连锁律） =(7x 7)[(x-1)^6] (x-1)[(x-1)^6] =(7x 7 x-1)[(x-1)^6] =(8x 6)[(x-1)^6] =2(4x 3)[(x-1)^6] 注意：在得到微分结果后,必须将其因式分解。
乘法律的应用1 在微分(x 1)(x-1)^7时,我们需要进行繁琐的因式分解,我们可以总结出一个公式,以解决类似的问题。 假设a、b、m、n、p和q都是常数： d/dx[(mx n)^a][(px q)^b] =[(mx n)^a]d/dx[(px q)^b] [(px q)^b]d/dx[(mx n)^a] =[(mx n)^a][b(px q)^(b-1)] [(px q)^b][a(mx n)^(a-1)] =b[(mx n)^a][(px q)^(b-1) a[(mx n)^(a-1)][(px q)^b] =b(mx n)[(mx n)^(a-1)][(px q)^(b-1)] a(px q)[(mx n)^(a-1)][(px q)^(b-1)] =(bmx bn)[(mx n)^(a-1)][(px q)^(b-1)] (apx aq)[(mx n)^(a-1)][(px q)^(b-1)] =(bmx apx bn aq)[(mx n)^(a-1)][(px q)^(b-1)] =[(ap bm)x (aq bn)][(mx n)^(a-1)][(px q)^(b-1)] 得出公式： d/dx[(mx n)^a][(px q)^b]=[(ap bm)x (aq bn)][(mx n)^(a-1)][(px q)^(b-1)] 这个公式可以用来微分形如[(mx n)^a][(px q)^b]的式子。
乘法律的应用2 有时我们会接触u√v类型的式子,我们试着因式分解它： d/dx(u√v) =u(d/dx√v) √v[d/dx(u)] （乘法律） =u(dv/dx)/(2√v) (√v)(du/dx) =(u/2)(dv/dx)/(√v) v(du/dx)/(√v) =[(u/2)(dv/dx) v(du/dx)]/(√v) 得出公式： d/dx(u√v)=[(u/2)(dv/dx) v(du/dx)]/(√v)乘法律的应用3 假设y是自变量为x的函数且a为常数,我们来尝试微分ay。
=d/dx(ay) =a(dy/dx) y[d/dx(a)] （乘法律） =a(dy/dx) （d/dx(a)=0） 从结果得出公式： d/dx(ay)=a(dy/dx) 我们需要微分分式(x^2 x 1)/x时,我们可以将其化为x 1 1/x,微分后得到1-1/x^2。
但这种方法对分母为多项式的分式是无效的,所以除法律被用来解决大部分分式的微分问题。我们可以用乘法律,假设其中一个乘式是分子为1的分式,以此推导出除法律。
假设u和v都是自变量为x的函数： d/dx(u/v) =d/dx[u(1/v)] =u[d/dx(1/v)] (1/v)(du/dx) （乘法律） =u(dv/dx)[d/dv(1/v)] (du/dx)/v （连锁律） =-u(dv/dx)(1/v^2) (du/dx)/v =-u(dv/dx)/(v^2) v(du/dx)/(v^2) =[v(du/dx)-u(dv/dx)]/(v^2) 这样我们得出除法律： d/dx(u/v)=[v(du/dx)-u(dv/dx)]/(v^2)除法律的应用1 除法律的应用的常用格式与乘法律相同,首先是[(mx n)^a]/[(px q)^b]类型的微分： d/dx{[(mx n)^a]/[(px q)^b]} ={[(px q)^b]d/dx[(mx n)^a]-[(mx n)^a]d/dx[(px q)^b]}/(px q)^(2b) （除法律） ={a[(px q)^b][(mx n)^(a-1)]-b[(mx n)^a][(px q)^(b-1)]}/(px q)^(2b) ={(apx aq)[(px q)^(b-1)][(mx n)^(a-1)]-(bmx bn)[(mx n)^(a-1)][(px q)^(b-1)]}/(px q)^(2b) =(apx aq-bmx-bn)[(mx n)^(a-1)][(px q)^(b-1)]/(px q)^(2b) =[(ap-bm)x (aq-bn)][(mx n)^(a-1)]/(px q)^(b 1) 得出公式： d/dx{[(mx n)^a]/[(px q)^b]}=[(ap-bm)x (aq-bn)][(mx n)^(a-1)]/(px q)^(b 1)除法律的应用2 我们用除法律微分形如u/√v的式子： d/dx(u/√v) =[(√v)(du/dx)-(u)d/dx(√v)]/v （除法律） =[(√v)(du/dx)-(u/2)(dv/dx)/(√v)]/v =[v(du/dx)-(u/2)(dv/dx)]/(v√v) 得出公式： d/dx(u√v)=[v(du/dx)-(u/2)(dv/dx)]/(v√v)除法律的应用3 当分式的分子为常数时,我们有更快的方法微分它： d/dx(a/y) =[(y)d/dx(a)-a(dy/dx)]/(y^2) （连锁律） =a(dy/dx)/(y^2) （d/dx(a)=0） 得出公式： d/dx(a/y)=[a/(y^2)](dy/dx)基本法则 dy/dx=d/dx[f(x)]=f'(x) d/dx(ax^n)=anx^(n-1) d/dx(ax)=a d/dx(a)=0 d/dx(ax^m bx^n)=amx^(m-1) bnx^(n-1)连锁律 dy/dx=(dy/dz)×(dz/dx) d/dx(y^n)=[ny^(n-1)](dy/dx) d/dx[(ax b)^n]=an(ax b)^(n-1) d/dx(√y)=(dy/dx)/(2√y)乘法律 d/dx(uv)=u(dv/dx) v(du/dx) d/dx[(mx n)^a][(px q)^b]=[(ap bm)x (aq bn)][(mx n)^(a-1)][(px q)^(b-1)] d/dx(u√v)=[(u/2)(dv/dx) v(du/dx)]/(√v) d/dx(ay)=a(dy/dx)除法律 d/dx(u/v)=[v(du/dx)-u(dv/dx)]/(v^2) d/dx{[(mx n)^a]/[(px q)^b]}=[(ap-bm)x (aq-bn)][(mx n)^(a-1)]/(px q)^(b 1) d/dx(u√v)=[v(du/dx)-(u/2)(dv/dx)]/(v√v) d/dx(a/y)=[a/(y^2)](dy/dx) d(x^3/3)=x^2dx 基本公式d(-1/x)=1/x^2dx d(lnx)=1/xdx d(-cosx)=sinxdx d(e^(x^2)/2)=xe^(x^2)dx。收起
