已知,,,其中是自然常数,.讨论时,的单调性,极值;求证:在的条件下,;若的最小...

已知函数,是常数.讨论的单调性;求时,零点的个数;求证:(,为自然对数的底数).

讨论含参数的函数的单调性问题,先求出导函数,令,本小题要对参数分,,三种情形进行讨论,对运算能力要求较高;,由的结论,所以分三个单调区间来利用单调性来讨论函数的零点的个数问题。是近年来高考考查的热点问题,即与函数结合证明不等式问题,常用的解题思路是利用前面的结论构造函数,利用函数的单调性,对于函数取单调区间上的正整数自变量有某些结论成立,进而解答出这类不等式问题的解。 解:,若,则,在定义域内单调递增;若,则,...全部

  讨论含参数的函数的单调性问题,先求出导函数,令,本小题要对参数分,,三种情形进行讨论,对运算能力要求较高;,由的结论,所以分三个单调区间来利用单调性来讨论函数的零点的个数问题。是近年来高考考查的热点问题,即与函数结合证明不等式问题,常用的解题思路是利用前面的结论构造函数,利用函数的单调性,对于函数取单调区间上的正整数自变量有某些结论成立,进而解答出这类不等式问题的解。
   解:,若,则,在定义域内单调递增;若,则,在定义域内单调递减;若,由解得,,,直接讨论知,在和单调递减,在单调递增。
  观察得,时,由得在单调递减,所以在上有且只有一个零点;,计算得,且在区间单调递增,所以在上有且只有一个零点;根据对数函数与幂函数单调性比较知,存在充分大的,使,且在区单调递减,所以在上从而在上有且只有一个零点。
  综上所述,时,有个零点。取,,由得单调递减,所以,,,从而,由单调递增得。 单调性刻画函数两个变量变化趋势的一致性,是认识函数的重要角度,运用单调性可以确定函数零点的个数,考查导数使单调性可以定量,精确研究这一重要工具。
  参数是可变的常数,处理参数是比较高端的数学素养,本题考查了这一素养,因此对学生的综合应用能力要求较高。收起