设函数f(x)=ln(x+a)+x^2
解:
(1)f'(x)=1/(x+a)+2x
依题意有f'(-1)=0,即a=3/2
故f(x)=ln(x+3/2)+x^2
从而f'(x)=(2x^2+3x+1)/(x+3/2)=(2x+1)(x+1)/(x+3/2)
f(x)定义域为(-3/2,+无穷)。
当-3/20;
当-1-1/2时,f'(x)>0。
故f(x)分别在区间(-3/2,-1)、(-1/2,+无穷)上单调递增;
在区间[-1,-1/2]上单调递减。
(2)f(x)的定义域为(-a,+无穷),
f'(x)=(2x^2+2ax+1)/(x+a)
其中2x^2+2ax+1=0的判别式:4a^2-8
(i)判别式小于0,...全部
解:
(1)f'(x)=1/(x+a)+2x
依题意有f'(-1)=0,即a=3/2
故f(x)=ln(x+3/2)+x^2
从而f'(x)=(2x^2+3x+1)/(x+3/2)=(2x+1)(x+1)/(x+3/2)
f(x)定义域为(-3/2,+无穷)。
当-3/20;
当-1-1/2时,f'(x)>0。
故f(x)分别在区间(-3/2,-1)、(-1/2,+无穷)上单调递增;
在区间[-1,-1/2]上单调递减。
(2)f(x)的定义域为(-a,+无穷),
f'(x)=(2x^2+2ax+1)/(x+a)
其中2x^2+2ax+1=0的判别式:4a^2-8
(i)判别式小于0,即: -根20,故f(x)无极值。
(ii)若判别式等于0,则a=士根2。
若a=根2,x属于(-根2,+无穷),f'(x)=((根2)x-1)^2/(x+根2)
当x=-(根2)/2时,f'(x)=0
当x属于(-根2,-(根2)/2)U(-(根2)/2,+无穷)时,f'(x)>0,故f(x)无极值。
若a=-根2,x属于(根2,+无穷),f'(x)=((根2)x-1)^2/(x-根2)>0,f(x)也无根值。
(iii)若判别式大于0,即a>根2,或a根2时,x1>-a,x2>-a,f'(x)在f(x)的定义域内有两个不同的零点,由极值判别式方法知f(x)右x=x1,x=x2取得极值。
综上,f(x)存在极值时,a的取值范围为(根2,+无穷)。
f(x)的极值之和为:
f(x1)+f(x2)
=ln(x1+a)+x1^2+ln(x2+a)+x2^2
=ln(1/2)+a^2-1
>1-ln2
=ln(e/2)。
收起
