一元二次方程式
一元二次方程 一元二次方程(quadratic equation of one variable)是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二次的整式方程。 一般形式为: ax^2 bx c=0, (a≠0) 一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基础。 一元二次方程的一般形式为:ax^2(2为次数，即X的平方) bx c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程。解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。 一元二次方程有四种解法: 1、直接开平方法;2、配方法;3、公式法;4、因...全部
一元二次方程 一元二次方程(quadratic equation of one variable)是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二次的整式方程。 一般形式为: ax^2 bx c=0, (a≠0) 一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基础。
一元二次方程的一般形式为:ax^2(2为次数，即X的平方) bx c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程。解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程有四种解法: 1、直接开平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法。 1、直接开平方法: 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的 方程，其解为x=±根号下n m 。
例1。解方程(1)(3x 1)2=7 (2)9x2-24x 16=11 分析:(1)此方程显然用直接开平方法好做，(2)方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。
(1)解:(3x 1)2=7× ∴(3x 1)2=5 ∴3x 1=±(注意不要丢解) ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= (2)解: 9x2-24x 16=11 ∴(3x-4)2=11 ∴3x-4=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= 2。
配方法:用配方法解方程ax2 bx c=0 (a≠0) 先将常数c移到方程右边:ax2 bx=-c 将二次项系数化为1:x2 x=- 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方:x2 x ( )2=- ( )2 方程左边成为一个完全平方式:(x )2= 当b^2-4ac≥0时，x =± ∴x=(这就是求根公式) 例2。
用配方法解方程 3x^2-4x-2=0 (注:X^2是X的平方) 解:将常数项移到方程右边 3x^2-4x=2 将二次项系数化为1:x^2-x= 方程两边都加上一次项系数一半的平方:x^2-x ( )2= ( )2 配方:(x-)2= 直接开平方得:x-=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= 。
3。公式法:把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a) , (b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3。用公式法解方程 2x2-8x=-5 解:将方程化为一般形式:2x2-8x 5=0 ∴a=2, b=-8, c=5 b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0 ∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a) ∴原方程的解为x1=,x2= 。
4。因式分解法:把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4。用因式分解法解下列方程: (1) (x 3)(x-6)=-8 (2) 2x2 3x=0 (3) 6x2 5x-50=0 (选学) (4)x2-2( )x 4=0 (选学) (1)解:(x 3)(x-6)=-8 化简整理得 x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零) (x-5)(x 2)=0 (方程左边分解因式) ∴x-5=0或x 2=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解:2x2 3x=0 x(2x 3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式) ∴x=0或2x 3=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=0，x2=-是原方程的解。 注意:有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。
(3)解:6x2 5x-50=0 (2x-5)(3x 10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错) ∴2x-5=0或3x 10=0 ∴x1=, x2=- 是原方程的解。 (4)解:x2-2( )x 4 =0 (∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法) (x-2)(x-2 )=0 ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
小结: 一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。 直接开平方法是最基本的方法。 公式法和配方法是最重要的方法。
公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法)，在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。 配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法 解一元二次方程。
但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。(三种重要的数学方法:换元法，配方法，待定系数法)。 例5。用适当的方法解下列方程。(选学) (1)4(x 2)2-9(x-3)2=0 (2)x2 (2-)x -3=0 (3) x2-2 x=- (4)4x2-4mx-10x m2 5m 6=0 分析:(1)首先应观察题目有无特点，不要盲目地先做乘法运算。
观察后发现，方程左边可用平方差公式分解因式，化成两个一次因式的乘积。 (2)可用十字相乘法将方程左边因式分解。 (3)化成一般形式后利用公式法解。 (4)把方程变形为 4x2-2(2m 5)x (m 2)(m 3)=0，然后可利用十字相乘法因式分解。
(1)解:4(x 2)2-9(x-3)2=0 [2(x 2) 3(x-3)][2(x 2)-3(x-3)]=0 (5x-5)(-x 13)=0 5x-5=0或-x 13=0 ∴x1=1,x2=13 (2)解: x2 (2- )x -3=0 [x-(-3)](x-1)=0 x-(-3)=0或x-1=0 ∴x1=-3，x2=1 (3)解:x2-2 x=- x2-2 x =0 (先化成一般形式) △=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0 ∴x= ∴x1=,x2= (4)解:4x2-4mx-10x m2 5m 6=0 4x2-2(2m 5)x (m 2)(m 3)=0 [2x-(m 2)][2x-(m 3)]=0 2x-(m 2)=0或2x-(m 3)=0 ∴x1= ,x2= 例6。
求方程3(x 1)2 5(x 1)(x-4) 2(x-4)2=0的二根。 (选学) 分析:此方程如果先做乘方，乘法，合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐，仔细观察题目，我们发现如果把x 1和x-4分别看作一个整体，则方程左边可用十字相乘法分解因式(实际上是运用换元的方法) 解:[3(x 1) 2(x-4)][(x 1) (x-4)]=0 即 (5x-5)(2x-3)=0 ∴5(x-1)(2x-3)=0 (x-1)(2x-3)=0 ∴x-1=0或2x-3=0 ∴x1=1,x2=是原方程的解。
例7。用配方法解关于x的一元二次方程x2 px q=0 解:x2 px q=0可变形为 x2 px=-q (常数项移到方程右边) x2 px ( )2=-q ()2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方) (x )2= (配方) 当p2-4q≥0时，≥0(必须对p2-4q进行分类讨论) ∴x=- ±= ∴x1= ,x2= 当p2-4q<0时，<0此时原方程无实根。
说明:本题是含有字母系数的方程，题目中对p, q没有附加条件，因此在解题过程中应随时注意对字母取值的要求，必要时进行分类讨论。 练习: (一)用适当的方法解下列方程: 1。 6x2-x-2=0 2。
(x 5)(x-5)=3 3。 x2-x=0 4。 x2-4x 4=0 5。 3x2 1=2x 6。 (2x 3)2 5(2x 3)-6=0 (二)解下列关于x的方程 1。x2-ax -b2=0 2。
x2-( )ax a2=0 练习参考答案: (一)1。x1=- ,x2= 2。x1=2,x2=-2 3。x1=0,x2= 4。x1=x2=2 5。x1=x2= 6。解:(把2x 3看作一个整体，将方程左边分解因式) [(2x 3) 6][(2x 3)-1]=0 即 (2x 9)(2x 2)=0 ∴2x 9=0或2x 2=0 ∴x1=-,x2=-1是原方程的解。
(二)1。解:x2-ax ( b)( -b)=0 2、解:x2-( )ax a· a=0 [x-( b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0 ∴x-( b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0 ∴x1= b，x2= -b是 ∴x1= a，x2=a是 原方程的解。
原方程的解。 测试 选择题 1。方程x(x-5)=5(x-5)的根是( ) A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5 2。多项式a2 4a-10的值等于11，则a的值为( )。
A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7 3。若一元二次方程ax2 bx c=0中的二次项系数，一次项系数和常数项之和等于零，那么方程必有一个根是( )。 A、0 B、1 C、-1 D、±1 4。
一元二次方程ax2 bx c=0有一个根是零的条件为( )。 A、b≠0且c=0 B、b=0且c≠0 C、b=0且c=0 D、c=0 5。 方程x2-3x=10的两个根是( )。 A、-2，5 B、2，-5 C、2，5 D、-2，-5 6。
方程x2-3x 3=0的解是( )。 A、 B、 C、 D、无实根 7。 方程2x2-0。15=0的解是( )。 A、x= B、x=- C、x1=0。27, x2=-0。27 D、x1=, x2=- 8。
方程x2-x-4=0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是( )。 A、(x-)2= B、(x- )2=- C、(x- )2= D、以上答案都不对 9。 已知一元二次方程x2-2x-m=0，用配方法解该方程配方后的方程是( )。
A、(x-1)2=m2 1 B、(x-1)2=m-1 C、(x-1)2=1-m D、(x-1)2=m 1 答案与解析 答案:1。C 2。C 3。B 4。D 5。A 6。D 7。D 8。C 9。
D 解析: 1。分析:移项得:(x-5)2=0，则x1=x2=5, 注意:方程两边不要轻易除以一个整式，另外一元二次方程有实数根，一定是两个。 2。分析:依题意得:a2 4a-10=11, 解得 a=3或a=-7。
3。分析:依题意:有a b c=0, 方程左侧为a b c, 且具仅有x=1时， ax2 bx c=a b c，意味着当x=1时，方程成立，则必有根为x=1。 4。分析:一元二次方程 ax2 bx c=0若有一个根为零， 则ax2 bx c必存在因式x，则有且仅有c=0时，存在公因式x，所以 c=0。
另外，还可以将x=0代入，得c=0，更简单! 5。分析:原方程变为 x2-3x-10=0, 则(x-5)(x 2)=0 x-5=0 或x 2=0 x1=5, x2=-2。 6。分析:Δ=9-4×3=-3<0，则原方程无实根。
7。分析:2x2=0。15 x2= x=± 注意根式的化简，并注意直接开平方时，不要丢根。 8。分析:两边乘以3得:x2-3x-12=0，然后按照一次项系数配方，x2-3x (-)2=12 (- )2， 整理为:(x-)2= 方程可以利用等式性质变形，并且 x2-bx配方时，配方项为一次项系数-b的一半的平方。
9。分析:x2-2x=m, 则 x2-2x 1=m 1 则(x-1)2=m 1。收起
