地图与数学的问题画一幅世界地图，
四种就可以了。我不知道为什么。在复杂的地图有四种颜色就可以区别。
四色足矣?地?D只用四種?色就?蛄?幔?
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【摘要】用?算?C配合??W的理?，解?Q了百年的?野浮?
一、緒言
今年夏天，全世界的??W家??起了一?騷?樱?榘俣嗄??乙晌?Q的四色??題被美?晾Z大?W的?晌??W家阿倍?（K。 Appel）及哈根（W。 Haken）解?Q了。
在彩色的地?D上或中?W生的地理作?I簿裏，我???是??T地把相?的??^...全部
四种就可以了。我不知道为什么。在复杂的地图有四种颜色就可以区别。
四色足矣?地?D只用四種?色就?蛄?幔?
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【摘要】用?算?C配合??W的理?，解?Q了百年的?野浮?
一、緒言
今年夏天，全世界的??W家??起了一?騷?樱?榘俣嗄??乙晌?Q的四色??題被美?晾Z大?W的?晌??W家阿倍?（K。
Appel）及哈根（W。 Haken）解?Q了。
在彩色的地?D上或中?W生的地理作?I簿裏，我???是??T地把相?的??^（???墒』?煽h等）?T以不相同的?煞N?色。雖然世界上有一百多???遥???，我??知道只要?追N?色就?蛄恕Ｄ屈N最少要?追N呢？四色??題就是??@????題而給的一??臆?y。
它說：任意分?^地?D，?o?是在平面上的或在球面上的，只要用四種?色就?蛄恕?
這??臆?y在一百多年前就被提出?恚虚g?過?o???W家的努力，到了今年才算有了?栏竦淖C明。
以下，我??要??這????題的?睚?去脈、解?Q這????題所遭到的困難、以及最後解?Q這些困難的?過情形。
附?У兀??也要?到二色定理、三色定理及五色定理。
在附?三裏，我??證明了?W拉定理。它是?化著色??題的最主要工具。在附?四，我???了一些其他曲面上的著色??題。而在附?一裏我??提供了???很好玩的四色??題遊?颉Ｔ诟戒?二，我??臚列了四色??題的?年史。
最後，在附?五，我??列了一些??作本文的?⒖假Y料。
（?者按：附?三、四、五我???⒃谙缕诳恰＃?
二、?定
?榱?栏竦卣?四色??題，我??假定分?^地?D要?M足下面的????l件。
（1）任何一??地?^都必?是連結的。連結的意義是說?牡?^?鹊娜我稽c出發，都可以不出?界，走到?地?^?鹊娜魏文乘囊稽c。所以最近一次印巴?馉?之前的情形就不符合我??的?定，因?槟??|巴基斯坦走到西巴基斯坦?要向印度借道。
但是像梵蒂??囊獯罄?汝?挖去了一?K?t?o所謂，因?橐獯罄?是連結的。
（2）如果??^只有有限點相交?t不算相?。?D一中A與B，D相?，但與C不相?。
以下，凡是??如何照?定著色（相???^要用不同的?色）的??題，一律稱做著色??題。
分?^地?D就?稱做分?^?D。
三、初步??
由?D二，很明顯地，有些分?^?D確??是要用四種?色才?颍?樵谶@??例子中，任何一?^都和其他三?^相?。同理，如果我??能造出一分?^?D，其中有五?^，每?^都和其他四?^相?，?t非用五種?色不可。
但事??上不難證明這?拥姆?^?D?K不存在。但這種分?^?D的不存在?K不表示證明了五色定理──即五種?色就?蛄恕＿@一點是??入門的人必?小心的地方，因?橛性S多人?稱證明了五色定理只是因?樗??證明了那?拥姆?^?D?K不存在。
?D三是??好例子。雖然每?^只有三????^，但這一地?^?D?s要用四種?色才?颉?
另外一點值得注意的是，如果我??證明了平面上的四色定理，我??也就證明了球面上的四色定理；反之亦然。理由如下：如?D四，把最外圈的外?部分也?做一???^（不管它原?硎遣皇且???^）。
拿一??球?[在這??地?^?D上。假設球面的最高點是N，?t?ζ矫嫔系娜魏我稽cP，我??可以引直?NP，交球面於Q點（?D五）。在P到Q這種??拢?碓诘?^?D上相?的??^其在球面上的???^也相?；不相?的?是??讲幌噜?的（雖然A?^的?o窮部分都??絅點附近，但這?K不影??^與?^間的相?或不相?的關?S，因?镹點是在A的???^的?炔俊＃┤绱耍??在球面上得到了一??相??牡?^?D。
如果假定四色定理在球面上成立，?t四種?色在這球面上的???^?D上就?蛴昧恕０阎松???^?D??氐狡矫嫔系牡?^?D，?t原?淼钠矫娴?^?D也只要用四種?色就?蛄恕?
反之，若?那蛎嫔系牡?^?D出發，我??可選某?^的一???赛c做N點，而得到一????钠矫娴?^?D。
同前理，如果假定平面上的四色定理，?t可證明球面上的四色定理。
平面到球面的???然不只一種。任何一種保持相?與不相?的??伎梢杂?碜C明平面上的和球面上的四色??題是等?r的。同?拥览恚椭??題而言，地?^?D的每一?^的形狀或其?界的形狀?K不重要﹔要緊的是相?的關?S。
如?D六的?傻?^?D是等?r的。
所以著色??題是拓??W的一????題。這是解?Q任何著色??題的基本關鍵。
四、正??D
在第三?裏我??做了些?化的工作。現在我??要介紹正??D以便做更進一步的?化工作。
首先，我??固定一些名詞好方便說明。如?D七，P。Q。R。S等這些?界的交點就稱?辄c，PQ、QR、RS、SP等這些在相??牲c之間的?界就稱?檫?，而這些?所?傻牟糠志徒凶?^。若有n??兑稽c，?t稱??閚?點，如?D七的P點是四?點，而Q點?t?槲暹?點。
若有n??梢?^?t稱??^?閚??^，如?D七的A是四??^。A?^?界上的點P。 Q。 R。 S稱?锳的?點。
在介紹正??D之前，我??要引進?芜B和非?芜B這???觀念。像?D八中的A（斜?部分）那?佑卸矗碆和C）的?^叫做非?芜B?^。
反之?]有洞的?^就叫做?芜B?^，如?D中的B和C。
含有非?芜B?^的地?^?D的著色??題可?w於不含非?芜B?^的地?^?D的著色??題。其原因如下：
假設所有不含非?芜B?^的地?^?D都可以用M種?色?碇??要用?w納法證明任何一??地?^?D，?o?有或?]有非?芜B?^，都可以用M種?色?碇Ｊ紫燃俣ㄖ挥幸??非?芜B?^，如?D九的A?^（先不管??）。
現在如?D九用??把A分成??^A1和A2，使地?^?D上??的?炔亢屯獠扛鞒梢??新的、不含有非?芜B?^的地?^?D。用M種?色把這???地?^?D各自著色（因?樗??都不含非?芜B?^）。
我??可以假設A1和A2的?色一?樱ㄆ┤纾绻玫氖荂1, C2, …,CM M種?色，而A1是用C1這種?色，A2用C2這種?色，?t把??外部重新著色，使原?碇鳦2色的改著C1色，原?鞢3色的改著C2色，……，原?鞢M色的改著CM-1色，原?鞢1色的改著CM色，?t新的著色方法也符合?定，而且A1和A2同?镃1色。
）????著過色的地?^?D合?悖ㄈヌ??，我??就得到用M種?色著色的原地?^?D。
如果原?D有n??非?芜B?^，而A是其中的一??，?t??所分成的???新地?^?D所含非?芜B?^的???当馗魃凫秐，而使得我??可以用?w納法完成著色的工作。
此後，我??假定地?^?D都不含有非?芜B?^。如上所述，這種假定?K?o?p於一般??題的研究。
下面，我??要把點的情形也?化，使我??的??題都?w於只含三?點的地?^?D。把任何非三?點（如?D十中的P）放大成一??小圈圈，如?D十一的?幼印?t新的地?^?D只含有三?點了。
如果新?D可以用M種?色著色，?t把?A圈縮小成P點後就得到著了M種?色的原地?^?D。
?此??以後，我??可以假定任一地?^?D只含有三?點，而每?^都是?芜B的。這?拥牡?^?D叫做正??D（regular map）。
五、?v史?介兼?五色定理
是誰首先提出四色??題的??]人知道。但最先有??可?さ氖且话宋宥晔仑ト眨???W家摩根( Morgan)給?蹱?蘭??W家?h米頓(W。Hamilton)的一封信。
他說有???W生跟他提起地?D著色的??題。?W生說四色就?蛄耍Ω也坏饺魏蔚淖C明。(這???W生後?查出名字叫做F。Guthrie)四色??題在??r?K?]有立即引起大家的注意。直到二十六年後的一八七八年,英???W家?P利(A。
Cayley),在他深知四色??題?K不??沃幔??敦??W?咸岢?聿乓?崃业挠??。次年,康沛(A。Kempe)宣布證明了四色定理,?K且把?文登在美?囊环??W雜誌上。
本以?榫痛?m埃落定的四色??題想不到在十一年後又再度引起大家的興趣。
原?恚谝话司拧鹉辏Ｎ颍≒。 Heawood）發表?文指出康沛在?證上的一??漏洞，因此四色定理再度成?樗纳??題。希悟同?r修改了康沛的方法，證明了五色定理，即五種?色就?蛄恕６宜???其他曲面，如?胎面等的著色??題（附?四）。
?榱搜芯恐??題，康沛引進了可約性（reducibility）的觀念。我??舉一??例子?碚f明。若正??D含有一??三??^，如?D十二的A。?縮成一點，得到新的正??D。如果這??新?D可以用四種?色著色，?t原?D也可以用四種?色著色，因???T上和其相?三?^不同的?色就好了。
通常?σ??有n???^的正??D，如果我??能找到一??正??D，其?^?瞪凫秐，而且如果假設新?D可以用M種?色著色（假設的?热莶灰欢ㄒ妫屈N由此可以推出原?D也可以用M種?色著色，?t稱原地?^?D是M色可約的。
如果正??D含有某??固定的?D象（configuration）（如上例中的三??^）就一定M色可約的，?t?固定的?D象稱?镸色可約?D象。（因此三??^是四色可約?D象）M色可約?D象?然是M色可約的。
有一點要注意的是，M色可約正??D不一定可以用M種?色?碇＃ㄕ?讀者?著舉例說明，以便真正瞭解M色可約的意義。）
引進可約性的目的是要便於??^的?的孔?w納法而得到一些著色定理。
以下我???砜聪Ｎ蛉绾斡每杉s性的觀念證明五色定理。
很顯然地，仿照前面的例子的?證，任何一??含有一??^、二??^、三??^或四??^這些?D象的地?^?D是五色可約的，也就是說這些?D象都是五色可約?D象。
希悟更證明了五??^也是五色可約?D象。
其證明如下：若A、B、C、D、E（?D十三）是五??^的五??相??^。如果A和C相?，?tB和D一定不相?。所以五?^中必有??^不相?，就假定是B和D??^吧。假如抹去了??的新正??D是可以用五種?色?碇模?t把五??^的?色?Q成與A、C、D、E四?^都不同的?色，?t我??得到了用五種?色著了色的原?D。
如果假定了下述的引理，?t我??就已?證明了五色定理。
引理：任意正??D都含有至少一????敌§读?^。
我???⒃谙乱还?證明這??引理。現在我??用引理?碜C明五色定理如下：
假設五色定理不成立，?t在所有不能用五種?色著色的正??D中找一???^?底钚〉恼??DG。
設其?^??閚。前面說過，一??^、二??^、三??^、四??^和五??^都是五色可約?D象。現在根?恚珿含有其中的一種?D象，所以G是可約的。但是根?俣ǎ魏?^?敌§秐的正??D都可以用五種?色?碇虼耍?杉s性，G又?成可以用五種?色?碇?槊堋Ｋ晕迳ɡ淼米C。
回頭?砜此纳??題。同前理，我??可以證明一??^、二??^、三??^和四??^都是四色可約?D象，但五??^就不能用這種方法證明?樗纳杉s?D象了。所以我??不能用同?拥霓k法?碜C明四色定理。
?年康沛證明四??^是四色可約?D象?r是用了一種不同的?證方法。他以?樗姆椒ㄒ部梢杂?碜C明五??^也是四色可約?D象，也就因此證明了四色定理。可是毛病就在這裏。希悟指出康沛的方法不能用到五??^上。
而康沛以後的一百年間也?]有人能把他的方法修正成功，使得「五??^?樗纳杉s?D象」這??命題有一????蔚淖C明。
根?恚魏我??正??D必含有一??^、二??^、三??^、四??^及五??^這組?D象的一??成?T。
這組?D象就是所謂的不可避?D象組（unavoidable set of configurations）的一??例子。一般而言，若任一正??D必含有某組?D象的一??成?T，?t?組?D象就叫做不可避?D象組。
五色定理的證明就在於我??找到了一不可避?D象組，而其成?T都是五色可約?D象。而四色??題??r失?×耍褪且?椴荒苷业竭@?拥囊徊豢杀埽ㄋ纳杉s）?D象組。
要找一組不可避?D象其??很容易，譬如所有的正??D全體就是了。
??題是我??要的是其成?T都是四色可約?D象！所以大家的目?耸钦页?T???瞪俚牟豢杀?D象組，這?硬庞修k法?證這些成?T是否都是四色可約?D象。
在希悟之後的六十年（直到一九五○年），大家在找四色可約?D象方面有很大的進展，但是在找不可避?D象組方面?s毫?o進展，更遑??烧呒婢懔恕Ｒ虼怂纳??題一直成??野浮?
在這期間，?多人的努力（主要是在找可約?D象）後，?兀╓inn）在一九四○年證明了任何?^?敌§?6的地?^?D一定可以用四色?碇?
大家想想?^???6的正??D?有多少種？根?芯咳?T的??，絕?Τ^1036種！所以要找四色可約?D象已?非常困難，若要一一?證一???^???6的正??D是否含有某已知的四色可約?D象更?何容易。
（即，不可避可約?D象組難找。）
隨著一九五○年代?算?C的?u?u發展，不少??W家??了各種程式，??算?C?椭?ふ宜纳杉s?D象及?證正??D的可約性。但是由於上述的天文?底郑?036），進展?是不大。
再說得清楚些：首先大家?]有??知道?選那一?的不可避?D象組，使得其成?T可能都是四色可約?D象，再者就是有了這?拥囊唤M不可避?D象，我??也不能期望它的???凳切〉绞刮??可以用?算?C?碓?其可約性。
在這同?r，德???W家赫希（H。 Heesch）除了用?算?C?碓?很多正??D的可約性之外?提出一套放?（discharging）理?（後文?^??地?到；放?只是比?M，與??W?o關。
）??ふ也豢杀?D象組，?算在四色??題的研究方面打了一???心?。有一次赫希在德?鶢?（Kiel）大?W的???险?他的方法，那?r?是?W生的哈根也在坐。他聽得津津有味，?拇?Q定了?研四色??題的志向。
?過十?啄甑呐Γ谶@方面?K?]有長足的進展。雖然他?化了放?理?，而且?σ?D象是否四色可約的判?嗔σ苍黾恿耍?λ纳??題的展望?s是很悲觀的。
一九七二年五月，哈根在伊利諾大?W（他?囊痪帕昃褪芷胳对?校）的一?????险?到四色??題非靠?算?C不可，也?到?算?C可能?庥龅降姆N種困難，最後又表示雖然知道困難所在，但??際上也不知道怎?涌朔@些困難云云。
此?r聽?之一的???W家阿倍?舉手說他相信?算?C可以解?Q??題，而且志?與哈根合作。
?拇艘葬幔M一步改良放?理?，而阿倍??t配合放?理??椭??各式各?拥某淌接糜?算?C?椭乙恍┏?T可能都是四色可約的不可避?D象組。
?過四年的努力，他??終於發明了一套解?Q各種困難的方法。今年七月，一切就緒了，他??用了1,500小?r?算?C?r間終於找到了一不可避?D象組，其成?T（成?T?敌§?000）都是四色可約?D象（而且每???D象的?^?刀夹§?5），因此證明了四色定理。
作者現?樘ù??W系副教授。
?者按：這是附?一第二??題的答案。
答案：把三分之一的紅色油漆和全部的藍色油漆混在一起，調成紫色（可以?T十六平方公尺）。讀者不難用紅、黃、綠、紫這四種?色?⒌匕逯?
提示：可以把不同?色的油漆混著用，只要最後地板的?色是四種就好了。
（答案?第28?）
。收起
