一道函数问题
昨晚和今晨的来信都以收到，在昨晚【1】【2】解答的基础上根据你的补充给出【3】的结论。
提交前发现已经有人回答了，可惜楼上朋友没有详细过程，所以Un是怎么求错的无法给他指正。
不是 Un=-n/[2^(-n)] ，应该是 Un=-n*[2^(-n)]。
至于和你说的：如果在初始条件 f(2)=2 下，可以求出 f(x)=xlogx。因为需要补充f(x)在x=1点可导，而且还要用到高等数学微分方程方法，这里不适合多谈。
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【1】取a=b=1，据题意有 f(1)=2f(1)，所...全部
昨晚和今晨的来信都以收到，在昨晚【1】【2】解答的基础上根据你的补充给出【3】的结论。
提交前发现已经有人回答了，可惜楼上朋友没有详细过程，所以Un是怎么求错的无法给他指正。
不是 Un=-n/[2^(-n)] ，应该是 Un=-n*[2^(-n)]。
至于和你说的：如果在初始条件 f(2)=2 下，可以求出 f(x)=xlogx。因为需要补充f(x)在x=1点可导，而且还要用到高等数学微分方程方法，这里不适合多谈。
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【1】取a=b=1，据题意有 f(1)=2f(1)，所以f(1)=0；
取a=b=0，据题意有 f(0)=0。
【2】先取a=b=-1，据题意有 f(-1)=0，
取a=-1，b=x，据题意有f(-x)=f[(-1)*x]=-f(x)+xf(-1)=-f(x),
所以 f(x)是奇函数。
【3】利用数学归纳法证明 f[2^(-n)]=-n*2^(-n)；
①初始验证
因为f(1)=0，f(2)=2，由 f(1)=f[2*(1/2)]=2f(1/2)+(1/2)*f(2)，
即 0=2f(1/2)+1，可得 f(1/2)=-1/2；说明n=1时结论正确；
②通项假定
设 n=k 时结论成立，即f[2^(-k)]=-k*2^(-k)；
③渐进递推
f{2^[-(k+1)]}=f[(1/2)*2^(-k)]=(1/2)f[2^(-k)]+[2^(-k)]f(1/2)
=(1/2)[-k*2^(-k)]+[2^(-k)]*(-1/2)=-(k+1)*2^(-k-1)
那么 n=k+1 时结论也成立。
所以 u(n)=f[2^(-n)]/n=-2^(-n),
S(n)=u(1)+u(2)+u(3)+……+u(n)=2^(-n)-1。
。收起
