矩阵AB=BA的充要条件是？
自己看看吧
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A,B都是正定矩阵 证明AB是正定矩阵的充要条件是 AB=BA
必要性：AB正定，所以AB为对称矩阵，AB=（AB）(T)=B(T)A(T)=BA 所以：AB=BA ，即A，B可交换
充分性：由AB=BA得 AB为实对称矩阵，r(AB)=r(A)=n (A,B为正定，则A,B可逆，所以r(A)=n)
由r(AB)=n得，r(f)=n 所以：AB矩阵的正惯性系数为n
所以：AB为正定矩阵
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自己看看吧
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A,B都是正定矩阵 证明AB是正定矩阵的充要条件是 AB=BA
必要性：AB正定，所以AB为对称矩阵，AB=（AB）(T)=B(T)A(T)=BA 所以：AB=BA ，即A，B可交换
充分性：由AB=BA得 AB为实对称矩阵，r(AB)=r(A)=n (A,B为正定，则A,B可逆，所以r(A)=n)
由r(AB)=n得，r(f)=n 所以：AB矩阵的正惯性系数为n
所以：AB为正定矩阵
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An,Bn是正定矩阵,AB=BA
(1)证明AB是正定矩阵
(2)为何:AB=BA，A、B是正定阵==>AB为实对称矩阵
(1)证明：
因为AB正定，所以A`=A，B`=B且存在可逆矩阵P，Q，使A=P`P，B=Q`Q。
故(AB)`=B`A`=BA=AB，即AB是对称矩阵。
Q(AB)(Q^-1)=Q(P`P)(Q`Q)(Q^-1)=(PQ`)`(PQ`)
记M=PQ`，因PQ均可逆，知M可逆，M`M正定。
AB相似于M`M，从而AB的特征值全大于0，故AB是正定矩阵。
(2)对称是一个矩阵正定的前提，也就是说只有对称矩阵才有资格被讨论是否为正定矩阵，而正定矩阵必为对称矩阵。
。收起
