比较线段的长短求证直角三角形斜边
求证直角三角形斜边上的中线大于或等于直角的角平分线
如图
设Rt△ABC中,∠C=90° ,AB=c、BC=a,AC=b。点D为AB中点,点E在AB上且CE为∠C平分线
求证:CD≥CE
由勾股定理得到:c=√(a^2+b^2)
而直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,所以:
CD=c/2=√(a^2+b^2)/2
已知CE为∠C平分线,所以由角平分线定理有:AE/BE=AC/BC=b/a
所以,BE=(a/b)*AE
而,BE+AE=AB=c
所以:(a/b)*AE+AE=[(a+b)/b]*AE=c
所以,AE=bc/(a+b)
那么,在△ACE中由余弦定理有:CE^2=AC^2+AE...全部
求证直角三角形斜边上的中线大于或等于直角的角平分线
如图
设Rt△ABC中,∠C=90° ,AB=c、BC=a,AC=b。点D为AB中点,点E在AB上且CE为∠C平分线
求证:CD≥CE
由勾股定理得到:c=√(a^2+b^2)
而直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,所以:
CD=c/2=√(a^2+b^2)/2
已知CE为∠C平分线,所以由角平分线定理有:AE/BE=AC/BC=b/a
所以,BE=(a/b)*AE
而,BE+AE=AB=c
所以:(a/b)*AE+AE=[(a+b)/b]*AE=c
所以,AE=bc/(a+b)
那么,在△ACE中由余弦定理有:CE^2=AC^2+AE^2-2AC*AE*cos∠A
=b^2+[(bc)^2/(a+b)^2]-2*b*[(bc)/(a+b)]*(b/c)
=b^2+[b^2c^/(a+b)^2]-2b^3/(a+b)
=[b^2/(a+b)^2]*[(a+b)^2+c^2-2b(a+b)]
=[b^2/(a+b)^2]*[a^2+b^2+2ab+(a^2+b^2)-2ab-2b^2]
=[b^2/(a+b)^2]*(2a^2)
=(2a^2b^2)/(a+b)^2
那么,CD^2-CE^2=(a^2+b^2)/4-2a^2b^2/(a+b)^2
=[(a^2+b^2)*(a+b)^2-8a^2b^2]/[4(a+b)^2]………………(*)
因为:(a-b)^2=a^2+b^2-2ab≥0(当且仅当a=b时取等号)
所以,a^2+b^2≥2ab…………………………………………(1)
同理:(√a-√b)^2=a+b-2√ab≥0
所以,a+b≥2√ab
所以,(a+b)^2≥4ab…………………………………………(2)
将(1)(2)代入(*)得到:
CD^2-CE^2≥[2ab*4ab-8a^2b^2]/[4(a+b)^2]=0
所以,CD^2≥CE
即,CD≥CE
【当且仅当a=b,即△ABC为等腰直角三角形时取等号。
此时CD、CE重合】。收起