矩阵的特征向量是什么？
矩阵的特征向量是什么？
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例子随着地球的自转，每个从地心往外指的箭头都在旋转，除了在转轴上的那些箭头。考虑地球在一小时自转后的变换：地心指向地理南极的箭头是这个变换的一个特征向量，但是从地心指向赤道任何一处的箭头不会是一个特征向量。
因为指向极点的箭头没有被地球的自转拉伸，它的特征值是1。 另一个例子是，薄金属板关于一个固定点均匀伸展，使得板上每一个点到该固定点的距离翻倍。这个伸展是一个有特征值2的变换。
从该固定点到板上任何一点的向量是一个特征向量，而相应的特征空间是所有这些向量的集合。但是，三维几何空间不是唯一的向量空间。例如，考虑两端固定的拉紧的绳子，就像弦乐器的振动弦那样（图2。 ）。
振动弦的原子到它们在弦静止时的位置之间的带符号那些距离视为一个空间中的一个向量的分量，那个空间的维数就是弦上原子的个数。如果考虑绳子随着时间流逝发生的变换，它的特征向量，或者说特征函数（如果将绳子假设为一个连续媒介），就是它的驻波—也就是那些通过空气的传播让人们听到弓弦和吉他的拨动声的振动。
驻波对应于弦的特定振动，它们使得弦的形状随着时间变化而伸缩一个因子（特征值）。和弦相关的该向量的每个分量乘上了一个依赖于时间的因子。驻波的振幅（特征值）在考虑到阻尼的情况下逐渐减弱。
因此可以将每个特征向量对应于一个寿命，并将特征向量的概念和共振的概念联系起来。特征值方程从数学上看，如果向量v与变换满足则称向量v是变换的一个特征向量，λ是相应的特征值。 其中是将变换作用于v得到的向量。
这一等式被称作“特征值方程”。假设是一个线性变换，那么v可以由其所在向量空间的一组基表示为：其中vi是向量在基向量上的投影（即坐标），这里假设向量空间为n维。由此，可以直接以坐标向量表示。利用基向量，线性变换也可以用一个简单的矩阵乘法表示。
上述的特征值方程可以表示为：但是，有时候用矩阵形式写下特征值方程是不自然甚或不可能的。例如在向量空间是无穷维的时候，上述的弦的情况就是一例。取决于变换和它所作用的空间的性质，有时将特征值方程表示为一组微分方程更好。
若是一个微分算子，其特征向量通常称为该微分算子的特征函数。 例如，微分本身是一个线性变换因为（若M和N是可微函数，而a和b是常数）考虑对于时间t的微分。其特征函数满足如下特征值方程：,其中λ是该函数所对应的特征值。
这样一个时间的函数，如果λ=0，它就不变，如果λ为正，它就按比例增长，如果λ是负的，它就按比例衰减。例如，理想化的兔子的总数在兔子更多的地方繁殖更快，从而满足一个正λ的特征值方程。 该特征值方程的一个解是N=exp(λt)，也即指数函数；这样，该函数是微分算子d/dt的特征值为λ的特征函数。
若λ是负数，我们称N的演变为指数衰减；若它是正数，则称指数增长。λ的值可以是一个任意复数。因此d/dt的谱是整个复平面。在这个例子中，算子d/dt作用的空间是单变量可微函数的空间。 该空间有无穷维（因为不是每一个可微函数都可以用有限的基函数的线性组合来表达的）。
但是，每个特征值λ所对应的特征空间是一维的。它就是所有形为N=N0exp(λt)的函数的集合。N0是任意常数，也就在t=0的初始数量。谱定理关于此话题更进一步的细节，见谱定理。谱定理在有限维的情况，将所有可对角化的矩阵作了分类：它显示一个矩阵是可对角化的，当且仅当它是一个正规矩阵。
注意这包括自共轭（厄尔米特）的情况。这很有用，因为对角化矩阵T的函数f(T)（譬如波莱尔函数f）的概念是清楚的。在采用更一般的矩阵的函数的时候谱定理的作用就更明显了。例如，若f是解析的，则它的形式幂级数，若用T取代x，可以看作在矩阵的巴拿赫空间中绝对收敛。
谱定理也允许方便地定义正算子的唯一的平方根。 谱定理可以推广到希尔伯特空间上的有界正规算子，或者无界自共轭算子的情况。矩阵的特征值和特征向量计算矩阵的特征值和特征向量假设我们想要计算给定矩阵的特征值。
若矩阵很小，我们可以用特征多项式进行符号演算。但是，对于大型矩阵这通常是不可行的，在那种情况我们必须采用数值方法。 符号演算关于此话题更进一步的细节，见矩阵特征值的符号演算。
求特征值描述正方形矩阵的特征值的重要工具是特征多项式：说λ是A的特征值等价于说线性系统(A–λI)v=0(其中I是恒等矩阵)有非零解v(一个特征向量)，因此等价于行列式:函数p(λ)=det(A–λI)是λ的多项式，因为行列式定义为一些乘积的和。
这就是A的特征多项式：矩阵的特征值也就是其特征多项式的零点。一个矩阵A的特征值可以通过求解方程pA(λ)=0来得到。若A是一个n×n矩阵，则pA为n次多项式，因而A最多有n个特征值。
反过来，代数基本定理说这个方程刚好有n个根，如果重根也计算在内的话。所有奇数次的多项式必有一个实数根，因此对于奇数n，每个实矩阵至少有一个实特征值。 在实矩阵的情形，对于偶数或奇数的n，非实数特征值成共轭对出现。
求特征向量一旦找到特征值λ，相应的特征值可以通过求解如下方程得到：没有实特征值的一个矩阵的例子实顺时针90度旋转：其特征多项式是λ2+1，因此其特征值成复共轭对出现：i,-i。相应的特征向量也是非实数的。
数值计算关于此话题更进一步的细节，见特征值算法。在实践中，大型矩阵的特征值无法通过特征多项式计算。计算该多项式本身相当费资源，而精确的“符号式”的根对于高次的多项式来说很难计算和表达：阿贝尔－鲁费尼定理显示高次（5次或更高）多项式的根无法用n次方根来简单表达。
对于估算多项式的根的有效算法是有的，但特征值中的小误差可以导致特征向量的巨大误差。 因此，寻找特征多项式和特征值的一般算法，是迭代法。最简单的方法是幂法：取一个随机向量v，然后计算如下的一系列单位向量,,,。
。。这个序列几乎总是收敛于最大绝对值的特征值所对应的特征向量。这个算法很简单，但是本身不是很有用。但是，象QR算法这样的算法正是以此为基础的。
因为指向极点的箭头没有被地球的自转拉伸，它的特征值是1。 另一个例子是，薄金属板关于一个固定点均匀伸展，使得板上每一个点到该固定点的距离翻倍。这个伸展是一个有特征值2的变换。
从该固定点到板上任何一点的向量是一个特征向量，而相应的特征空间是所有这些向量的集合。但是，三维几何空间不是唯一的向量空间。例如，考虑两端固定的拉紧的绳子，就像弦乐器的振动弦那样（图2。 ）。
振动弦的原子到它们在弦静止时的位置之间的带符号那些距离视为一个空间中的一个向量的分量，那个空间的维数就是弦上原子的个数。如果考虑绳子随着时间流逝发生的变换，它的特征向量，或者说特征函数（如果将绳子假设为一个连续媒介），就是它的驻波—也就是那些通过空气的传播让人们听到弓弦和吉他的拨动声的振动。
驻波对应于弦的特定振动，它们使得弦的形状随着时间变化而伸缩一个因子（特征值）。和弦相关的该向量的每个分量乘上了一个依赖于时间的因子。驻波的振幅（特征值）在考虑到阻尼的情况下逐渐减弱。
因此可以将每个特征向量对应于一个寿命，并将特征向量的概念和共振的概念联系起来。特征值方程从数学上看，如果向量v与变换满足则称向量v是变换的一个特征向量，λ是相应的特征值。 其中是将变换作用于v得到的向量。
这一等式被称作“特征值方程”。假设是一个线性变换，那么v可以由其所在向量空间的一组基表示为：其中vi是向量在基向量上的投影（即坐标），这里假设向量空间为n维。由此，可以直接以坐标向量表示。利用基向量，线性变换也可以用一个简单的矩阵乘法表示。
上述的特征值方程可以表示为：但是，有时候用矩阵形式写下特征值方程是不自然甚或不可能的。例如在向量空间是无穷维的时候，上述的弦的情况就是一例。取决于变换和它所作用的空间的性质，有时将特征值方程表示为一组微分方程更好。
若是一个微分算子，其特征向量通常称为该微分算子的特征函数。 例如，微分本身是一个线性变换因为（若M和N是可微函数，而a和b是常数）考虑对于时间t的微分。其特征函数满足如下特征值方程：,其中λ是该函数所对应的特征值。
这样一个时间的函数，如果λ=0，它就不变，如果λ为正，它就按比例增长，如果λ是负的，它就按比例衰减。例如，理想化的兔子的总数在兔子更多的地方繁殖更快，从而满足一个正λ的特征值方程。 该特征值方程的一个解是N=exp(λt)，也即指数函数；这样，该函数是微分算子d/dt的特征值为λ的特征函数。
若λ是负数，我们称N的演变为指数衰减；若它是正数，则称指数增长。λ的值可以是一个任意复数。因此d/dt的谱是整个复平面。在这个例子中，算子d/dt作用的空间是单变量可微函数的空间。 该空间有无穷维（因为不是每一个可微函数都可以用有限的基函数的线性组合来表达的）。
但是，每个特征值λ所对应的特征空间是一维的。它就是所有形为N=N0exp(λt)的函数的集合。N0是任意常数，也就在t=0的初始数量。谱定理关于此话题更进一步的细节，见谱定理。谱定理在有限维的情况，将所有可对角化的矩阵作了分类：它显示一个矩阵是可对角化的，当且仅当它是一个正规矩阵。
注意这包括自共轭（厄尔米特）的情况。这很有用，因为对角化矩阵T的函数f(T)（譬如波莱尔函数f）的概念是清楚的。在采用更一般的矩阵的函数的时候谱定理的作用就更明显了。例如，若f是解析的，则它的形式幂级数，若用T取代x，可以看作在矩阵的巴拿赫空间中绝对收敛。
谱定理也允许方便地定义正算子的唯一的平方根。 谱定理可以推广到希尔伯特空间上的有界正规算子，或者无界自共轭算子的情况。矩阵的特征值和特征向量计算矩阵的特征值和特征向量假设我们想要计算给定矩阵的特征值。
若矩阵很小，我们可以用特征多项式进行符号演算。但是，对于大型矩阵这通常是不可行的，在那种情况我们必须采用数值方法。 符号演算关于此话题更进一步的细节，见矩阵特征值的符号演算。
求特征值描述正方形矩阵的特征值的重要工具是特征多项式：说λ是A的特征值等价于说线性系统(A–λI)v=0(其中I是恒等矩阵)有非零解v(一个特征向量)，因此等价于行列式:函数p(λ)=det(A–λI)是λ的多项式，因为行列式定义为一些乘积的和。
这就是A的特征多项式：矩阵的特征值也就是其特征多项式的零点。一个矩阵A的特征值可以通过求解方程pA(λ)=0来得到。若A是一个n×n矩阵，则pA为n次多项式，因而A最多有n个特征值。
反过来，代数基本定理说这个方程刚好有n个根，如果重根也计算在内的话。所有奇数次的多项式必有一个实数根，因此对于奇数n，每个实矩阵至少有一个实特征值。 在实矩阵的情形，对于偶数或奇数的n，非实数特征值成共轭对出现。
求特征向量一旦找到特征值λ，相应的特征值可以通过求解如下方程得到：没有实特征值的一个矩阵的例子实顺时针90度旋转：其特征多项式是λ2+1，因此其特征值成复共轭对出现：i,-i。相应的特征向量也是非实数的。
数值计算关于此话题更进一步的细节，见特征值算法。在实践中，大型矩阵的特征值无法通过特征多项式计算。计算该多项式本身相当费资源，而精确的“符号式”的根对于高次的多项式来说很难计算和表达：阿贝尔－鲁费尼定理显示高次（5次或更高）多项式的根无法用n次方根来简单表达。
对于估算多项式的根的有效算法是有的，但特征值中的小误差可以导致特征向量的巨大误差。 因此，寻找特征多项式和特征值的一般算法，是迭代法。最简单的方法是幂法：取一个随机向量v，然后计算如下的一系列单位向量,,,。
。。这个序列几乎总是收敛于最大绝对值的特征值所对应的特征向量。这个算法很简单，但是本身不是很有用。但是，象QR算法这样的算法正是以此为基础的。
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