矩阵的相似有哪些?
对于域F上两个n阶矩阵A、B,若有非奇异矩阵P,使P-1AP=B,则称为A相似于B,记为A~B。矩阵之间的这个关系,具有反身性、对称性和传递性,所以它是一种等价关系。矩阵的相似是在讨论一个向量空间到自身之间的线性变换的各种矩阵表示问题中产生的。 域F上两个n阶矩阵A与B相似,必要而且只要特征矩阵(λI-A)与(λI-B)在F【λ】上等价。λI-A的不变因子与初等因子,分别称为A的不变因子与初等因子。特征矩阵λI-A的秩数,即A的阶数n。 因此,在F上的两个n阶矩阵A与B相似,必要而且只要它们的初等因子一致。当F是一个代数封闭域时,F【λ】中的首项系数为1的既约多项式只能是形如(λ-α)...全部
对于域F上两个n阶矩阵A、B,若有非奇异矩阵P,使P-1AP=B,则称为A相似于B,记为A~B。矩阵之间的这个关系,具有反身性、对称性和传递性,所以它是一种等价关系。矩阵的相似是在讨论一个向量空间到自身之间的线性变换的各种矩阵表示问题中产生的。
域F上两个n阶矩阵A与B相似,必要而且只要特征矩阵(λI-A)与(λI-B)在F【λ】上等价。λI-A的不变因子与初等因子,分别称为A的不变因子与初等因子。特征矩阵λI-A的秩数,即A的阶数n。
因此,在F上的两个n阶矩阵A与B相似,必要而且只要它们的初等因子一致。当F是一个代数封闭域时,F【λ】中的首项系数为1的既约多项式只能是形如(λ-α)的一次式,所以此时F上的一个n阶矩阵A的全部初等因子必为如下的一些多项式:式中α1,α2,…,αk互不相同,k≥1;所有指数Л1,Л2,…,Лr,…;n1,n2,…,nt之和为n。
对于每个形如的多项式,可以惟一确定一个所谓若尔当小块,即h阶矩阵:,它只有一个初等因子,而且就是。设上述n阶矩阵A的全部初等因子的若尔当小块分别是J1,J2,…,Jυ,v=r+s+…+t,用这v个小块来合成一个n阶对角分块矩阵。
于是A~J,而且除诸小块的次序外,J是由A所惟一确定的。J称为A的若尔当标准形式。由此可知,只要找出A的全部初等因子即可求得A的若尔当标准形式。要找出A的全部初等因子有一个较简捷的方法,即不必把λI-A化成法式,而先把λI-A通过初等变换化成对角矩阵,其对角线上的全部多项式不一定恰是A的全部不变因子,只要将其中每个非常数多项式的首项系数化为1,再分解因子,即可象从不变因子求出初等因子那样得出A的全部初等因子。
设N是任意域F上的一个方阵,若有正整数m使Nm=0,则N称为一个幂零矩阵。例如,把上述若尔当小块中的α全换成0得出的h阶矩阵N,就是一个幂零矩阵,因为Nh=0。若F上的方阵K具有性质K2=K,则称K为一个幂等矩阵。
例如单位矩阵就是一个幂等矩阵。由直接计算可知,对F上任意多项式?(λ),有。因此,与幂零矩阵相似的矩阵仍为幂零矩阵;与幂等矩阵相似的矩阵仍为幂等矩阵。实数域上一个非奇异矩阵T若具有性质T┡=T-1(T┡是T的转置矩阵),则称为一个正交矩阵。
例如解析几何里直角坐标旋转公式的系数矩阵就是正交矩阵。一个正交矩阵的转置矩阵(即其逆矩阵)仍为正交矩阵;两个同阶的正交矩阵的积仍为正交矩阵。实数域上任意一个对称矩阵A,恒可通过适当的正交矩阵T而相似于对角矩阵D,即D=T-1AT=T┡AT,且D的对角线上的实数就是A的全部特征根。
复数域上的一个非奇异矩阵U若具有性质ū┡=U-1或U┡=(ū)-1(ū┡为U的共轭转置矩阵),就称为一个酉矩阵。一个酉矩阵的共轭矩阵仍为酉矩阵;一个酉矩阵的转置矩阵仍为酉矩阵;一个酉矩阵的共轭转置矩阵(即其逆矩阵)仍为酉矩阵;两个同阶的酉矩阵的积仍为酉矩阵。
复数域上凡满足的矩阵A,称为埃尔米特矩阵。实对称矩阵作为复数域上的矩阵时,就是埃尔米特矩阵。任意一个埃尔米特矩阵A,恒可通过适当的酉矩阵U而相似于实对角矩阵D,即D=U┡Aū,且D的对角线元素恰为A的全部特征根。
一个正交矩阵作为复数域上的矩阵时,也是一个酉矩阵。收起