有一个年级的同学,每9人一排多5人,每7
我综合了各位大师和自己的方法,希望有所帮助
1*******************
9的正整数倍加上5,分别是:
14,23,32,41,50,59,68,77,86,95,104,113。 。
被5除,余数分别是:
04,03,02,01,00,04,03,02,01,00,004,003。。
被7除,余数分别是:
00,02,04,06,01,03,05,00,02,04,006,001。 。
观察,可以发现:
被5除时,除去前面3个数,后面每隔5个,余数是2
被7除时,除去前面的5个,后面每隔7个,余数是1
如果前面再有2个数,那么就是每隔5个,余数是2,每隔7个,余数是1
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我综合了各位大师和自己的方法,希望有所帮助
1*******************
9的正整数倍加上5,分别是:
14,23,32,41,50,59,68,77,86,95,104,113。
。
被5除,余数分别是:
04,03,02,01,00,04,03,02,01,00,004,003。。
被7除,余数分别是:
00,02,04,06,01,03,05,00,02,04,006,001。
。
观察,可以发现:
被5除时,除去前面3个数,后面每隔5个,余数是2
被7除时,除去前面的5个,后面每隔7个,余数是1
如果前面再有2个数,那么就是每隔5个,余数是2,每隔7个,余数是1
5和7的最小公倍数是35,35-2=33
所以人数至少为33×9+5=302人
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能被9除余5、被7除余1的正整数有50,113,176,239,302,365,428, 。
。。 ;以上各数中,同时又能被5除余2的最小数是302。答:这个年级最少302人
。
3*************************
用电子表格穷举;
=IF(MOD((A302-5)/9+(A302-1)/7+(A302-2)/5,1)=0,1,10000)
找到规律:302+315n
3*************************
9x+5=7y+1=5z+2,
5(y-z)+2y=1, 2y-1=5m, m为奇数2n-1,y=5n-2,则z=7n-3,
9x+5=35n-13, n=9(4n-x-2), n=9k,
所以这个年级为9x+5=9(35k-2)+5=315k-13,
k至少等于1,这个年级人数至少为302。
4***********************
总结成如下的孙子定理:
设m1,m2,……,mi是两两互素的正整数,m=m1m2……mk,m=miMi,i=1,2,……,k,则满足下列方程
x≡b1(mod m1), x≡b2(mod m2),……x≡bk(mod mk)
的解为
x≡M'1M1b1+ M'2M2b2+……+ M'kMkbk(mod m)
其中M’iMi≡1(mod mi), i=1,2, ……,k。
在“物不知其数”一题中,m1=3,m2=5,m3=7,k=3,m1、m2、m3两两互素。b1=2,b2=3,b3=2;m=m1m2m3=3x5x7=105,
105=m1M1,故M1=35,105=m2M2,故M2=21,105=m3M3,故M3=15。
又要求M'iMi≡1(mod mi);35M'1≡1(mod 3),
故M'1=2,21M'2≡1(mod 5),故M'2=1,15M'3≡1(mod 7),故M'3=1,于是
x≡2x35x2+1x21x3+1x15x2≡233≡23 (mod 105)
以上摘编自:王树禾:《数学聊斋》科学出版社,2005年3月第三次印刷,p28—30。
在你的题中,除数:m1=9,m2=7,m3=5,k=3;余数:b1=5,b2=1,b3=2,m=m1m2m3=9x7x5=315,
315=m1M1,故M1=35,
315=m2M2,故M2=45,
315=m3M3,故M3=63。
又要求M'iMi≡1(mod mi);
35M'1≡1(mod 9),故M'1=8;
45M'2≡1(mod 7),故M'2=5;
63M'3≡1(mod 5),故M'3=2。
于是
x≡M'1M1b1+ M'2M2b2+……+ M'kMkbk(mod m)
x≡8x35x5+5x45x1+2x63x2≡1877≡302(mod 315),(即1877-5x315=302)。
所求的数是302。
验证:
302=33*9+5,
302=43*7+1,
302=60*5+2。
。收起