已知一个扇形的周长为定值a

已知一个扇形的周长为定值a，求其面积的最大值，并求此圆心角α的大小。已知一个扇形的周长为定值a，求其面积的最大值，并求此圆心角α的大小。

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2007-06-10

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设扇形的半径是r，则弧长是αr，扇形的周长2r＋rα＝a。所以，r＝a/(2＋α) 扇形的面积S＝1/2×α×r^2＝1/2×α×a^2/(2＋α)^2＝a^2/2×α/(2＋α)^2 因为2＋α≥2√(2α)，所以S≤a^2/2×α/[2√(2α)]^2＝a^2/2×1/8＝a^2/16。
等号成立的条件是α＝2。所以，扇形的面积的最大值是a^2/16，此时圆心角α＝2。

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