一道数学题。急！！！！！！！！！！
1．点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝，使用时直线方程要先化成一般式；特殊地，P(x0，y0)到x＝a的距离d＝|x0－a|；P（x0，y0）到y＝a的距离为d＝|y0－a|；
2．直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0的距离为d＝，此公式的适用条件为x，y的系数相同；
3．对称性问题
（1）点关于点的对称
若（x0，y0）关于（a，b）的对称点为(x′，y′)，则
（2）点关于直线的对称
若点（x0，y0）关于直线Ax＋By＋C＝0的对称点是（x′，y′），
则
特例：点（x0，y0）关于x轴的对称点为(x0，－y0)；
点(x0，y0)关于y轴的对...全部
1．点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝，使用时直线方程要先化成一般式；特殊地，P(x0，y0)到x＝a的距离d＝|x0－a|；P（x0，y0）到y＝a的距离为d＝|y0－a|；
2．直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0的距离为d＝，此公式的适用条件为x，y的系数相同；
3．对称性问题
（1）点关于点的对称
若（x0，y0）关于（a，b）的对称点为(x′，y′)，则
（2）点关于直线的对称
若点（x0，y0）关于直线Ax＋By＋C＝0的对称点是（x′，y′），
则
特例：点（x0，y0）关于x轴的对称点为(x0，－y0)；
点(x0，y0)关于y轴的对称点为(－x0，y0)；
点（x0，y0）关于直线y＝x的对称点为（y0，x0）；
点（x0，y0）关于直线y＝－x的对称点为（－y0，－x0）；
(3)直线关于点的对称
若求直线l：Ax＋By＋C＝0关于点（a，b）的对称直线l′，
法一：设l′：Ax＋By＋C1＝0，由（a，b）到l和l′的距离相等，求得C1；或在l上任取一点（x0，y0），求出它关于(a，b)的对称点（x′，y′），代入l′即可求得C1；
法二：在l上任取两点（x1，y1），（x2，y2），分别求出它们关于（a，b）的对称点，然后用两点式即可得l′方程；
法三：（代入法）
设l′上任意一点（x，y），求出它关于（a，b）的对称点，然后代入直线l的方程，可得关于x、y的方程即l′的方程；
（4）直线关于直线的对称
若求直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0关于直线l：Ax＋By＋C＝0的对称直线l′．
法一：由方程组得l1与l的交点坐标，
再利用l1与l夹角和l与l2的夹角相等得l′的斜率，则由点斜式即可得l′的方程；或在l1上任取一点(x0，y0)，求出它关于l的对称点(x1，y1)，由两点式得l′方程；
法二：（代入法）
设l′上任意一点（x，y），求出它关于l的对称点，然后代入l1的方程即可得l′的方程．
【例题分析】
［例1］直线l经过P（2，－5），且与两点A（3，－2），B（－1，6）的距离之比为1∶2，求直线l的方程．
策略：直线l满足两个几何条件：（1）过点P（2，－5），（2）l与A、B的距离之比为1∶2，又注意到当l的斜率不存在时，显然不满足条件（2），所以，由（1）设出方程，由（2）确定斜率k的值即可．
解：∵直线l经过点P（2，－5）
∴设直线l的方程为y＋5＝k(x－2)，即
kx－y－2k－5＝0
∴A到l的距离d1＝；
B到l的距离d2＝
∵d1∶d2＝1∶2
∴＝，即k2＋18k＋17＝0
解得：k＝－1或k＝－17
∴直线l的方程为：x＋y＋3＝0或17x＋y－29＝0．
评注：本题条件较明确，只要准确设出直线l的方程，代入点到直线的距离公式便可，但需要注意验证斜率不存在的情况．
［例2］一直线l经过点P（1，2），且被两平行直线l1：4x＋3y＋1＝0，l2：4x＋3y＋6＝0截得线段|AB|＝，求直线l的方程．
策略：如图7—3—4所示，设直线l的方程是y－2＝k(x－1)，分别与l1，l2联立求得交点A、B坐标，利用|AB|＝，求出k，则直线l方程确定；或过A点作AC⊥l2于C，在△ABC中，|AB|＝，|AC|利用l1，l2间的距离公式求得，由此可得∠ABC，再由l与l2的夹角公式，确定l的斜率．
解法一：设直线l的方程为y－2＝k(x－1)
由解得A()
由解得B()
∵|AB|＝
∴
即5|3k＋4|
化简整理得：7k2－48k－7＝0
解得k＝－或k＝7
∴所求直线的方程为x＋7y－15＝0或7x－y－5＝0．
解法二：如图7—3—4所示，过A作AC⊥l2于C
∵l1∥l2
∴|AC|＝＝1
又∵|AB|＝
∴sin∠ABC＝
∴∠ABC＝即l与l2的夹角为
∵l2的斜率为－，设直线l的斜率为k，
则由夹角公式得：
tan＝即|3k＋4|＝|3－4k|
解得：k＝7或k＝－
∴直线l的方程为x＋7y－15＝0或7x－y－5＝0．
评注：对于本题的两种方法，解法一解题思路容易想到，但计算麻烦，解法二运用了平行直线间的距离公式和夹角公式，减少了计算量．
［例3］求点A（－7，1）关于直线l：2x－y－5＝0的对称点A′的坐标．
策略：由A和A′关于l对称可知：AA′⊥l，AA′的中点在l上，将其转化为代数条件就是：kl·kAA′＝－1，且中点M坐标满足l方程．
解：设A′的坐标为（x0，y0）则
·2＝－1即x0＋2y0＋5＝0 ①
设A、A′的中点为M，则M()
代入l方程得2·－5＝0
即2x0－y0－25＝0 ②
解①②得A′的坐标为（9，－7）．
评注：本题的解法具有普遍意义，因为曲线的轴对称，常常通过点的轴对称来实现，这种解法在今后有着广泛的应用．
［例4］已知直线l1：2x＋y－4＝0，求l1关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线l2的方程．
策略：本题的解法有多种，一是l1关于l的对称直线为l2，则l2必过l1与l的交点，且l1与l的夹角和l与l2的夹角相等，所以可利用点斜式求出l2方程；二是l1与l2关于l对称，则l1与l2上的点也关于l对称，可取特殊点求其对称点，然后两点式求l2方程；三是代入法求l2方程．
解法一：由得l1与l的交点P（3，－2）
显然P也在l2上
设l2的斜率为k，又l1的斜率为－2，l的斜率为－，则
解得k＝－
∴l2的方程为y＋2＝－ (x－3)即2x＋11y＋16＝0．
解法二：在l1上取一点A（2，0），设A关于l的对称点为B(x0，y0)，则
解得B()
∴由两点式可得l2方程为：2x＋11y＋16＝0．
解法三：（代入法）
设直线l2上任意一点M（x，y），关于l的对称点为M′（x′，y′），则
解得：x′＝，y′＝
∵M′在l1上
∴2·－4＝0
即l2的方程为2x＋11y＋16＝0．
评注：对于直线关于直线的对称性问题，常见方法有这三种，解法一、二对计算较解法三简单，而解法三是以后求轨迹方程的一般方法．
［例5］已知直线l：3x－y－1＝0，在l上求一点P，使得：
(1)P到点A（4，1）和B（0，4）的距离之差最大；
（2）P到点A（4，1）和C（3，4）的距离之和最小．
策略：对于求距离差或和的最值问题，一般要将两距离转化到同一直线上进行解答．由平面几何知识可知，A关于l的对称点为A′，A′B与l的交点P满足（1）；A′C与l的交点P′满足（2）；所以，本题就将距离问题转化成了点关于直线的对称问题和两直线的交点问题．
解：设A（4，1）关于直线l的对称点为A′(x0，y0)，则
解得A′(－2，3)
（1）A′B的方程为即x－2y＋8＝0
联立A′B和l的方程解方程组得x＝2，y＝5
即A′B和l的交点坐标为（2，5）
∴所求点P的坐标为（2，5）．
（2）A′C的方程为即x－5y＋17＝0
解由A′C与l的方程组成的方程组得：
x＝，y＝
即A′C与l的交点坐标为()
∴所求点P的坐标为()．
评注：通过本题可以发现：若A、B位于l的两侧时，可以在l上找到一点P，使|PA|－|PB|最大；若A、B位于l的同侧时，可以在l上找到一点P，使|PA|＋|PB|最小．
［例6］求函数y＝的最小值．
策略：此函数的定义域为R，如果从代数的角度考虑，确实比较复杂；如果借助于两点间的距离公式，转化为几何问题，则是非常的容易．
即＝，令A（x，0），B(0，1)，C(2，2)，则此问题转化为：在x轴上求一点A（x，0），使得|AB|＋|AC|最小．
解：y＝
＝
令A(x，0)，B(0，1)，C(2，2)，则问题转化为：在x轴上求一点A(x，0)，使得|BA|＋|AC|取得最小值．
∵B关于x轴的对称点为B′(0，－1)
∴(|AB|＋|AC|)min＝|B′C|＝．
评注：本题从条件中好像是纯代数问题，但用代数知识不知从何下手时，由函数解析式的形式联想两点间距离公式 ，用几何知识解决会很容易．
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收起
