一道数学题设椭圆方程为x^2+y
解：(1)显然P为线段AB中点。 设A，B坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)
，P(x,y)，则AB斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)=(y-1)/(x-0)=(y-1)/x
(AB也过M，P两点)
x1²+y1²/4=1，x2²+y2²/4=1
两式相减，得
(x2²-x1²)+(y2²-y1²)/4=0
等式两边除以x2-x1，得
(x2+x1)+[(y2-y1)/(x2-x1)](y2+y1)/4=0
即2x+[(y-1)/x](2y)/4=0，整理得
4x²+y²-y=0...全部
解：(1)显然P为线段AB中点。
设A，B坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)
，P(x,y)，则AB斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)=(y-1)/(x-0)=(y-1)/x
(AB也过M，P两点)
x1²+y1²/4=1，x2²+y2²/4=1
两式相减，得
(x2²-x1²)+(y2²-y1²)/4=0
等式两边除以x2-x1，得
(x2+x1)+[(y2-y1)/(x2-x1)](y2+y1)/4=0
即2x+[(y-1)/x](2y)/4=0，整理得
4x²+y²-y=0
(2)由4x²+y²-y=0，得4x²=-(y²-y)=-(y-1/2)²+1/4≤1/4，
解得-1/4≤x≤1/4
|向量NP|²=(x-1/2)²+(y-1/2)²
=x²-x+y²-y+1/2
=x²-x+(-4x²)+1/2
=-3x²-x+1/2
=-3(x+1/6)²+7/12
由-1/4≤x≤1/4，知
-3(x+1/6)²+7/12≤7/12(当且仅当x=-1/6时取得“=”)
-3(x+1/6)²+7/12≥-3(1/4+1/6)²+7/12=1/16
故max|向量NP|=√(7/12)=√21/6，min|向量NP|=√(1/16)=1/4。收起
