一道数学难题请求大家帮助已知函数
已知函数f(x)=2x3-3(2+a2)x2+6(1+a2)x+1 (a属于R)
1。若函数f(x)在R上单调，求a的值
f(x)=2x^3-3(2+a^2)x^2+6(1+a^2)x+1（a∈R）
则，f'(x)=6x^2-6(2+a^2)x+6(1+a^2)
=6[x^2-(2+a^2)x+(1+a^2)]
=6*(x-1)*[x-(a^2+1)]
因为a∈R
所以，a^2+1≥1
则：
①当x＞a^2+1时，f'(x)＞0，函数f(x)单调递增；
②当1＜x＜a^2+1时，f'(x)＜0，函数f(x)单调递减；
③当x＜1时，f'(x)＞0，函数f(x)单调递增。
而已知函数f(...全部
已知函数f(x)=2x3-3(2+a2)x2+6(1+a2)x+1 (a属于R)
1。若函数f(x)在R上单调，求a的值
f(x)=2x^3-3(2+a^2)x^2+6(1+a^2)x+1（a∈R）
则，f'(x)=6x^2-6(2+a^2)x+6(1+a^2)
=6[x^2-(2+a^2)x+(1+a^2)]
=6*(x-1)*[x-(a^2+1)]
因为a∈R
所以，a^2+1≥1
则：
①当x＞a^2+1时，f'(x)＞0，函数f(x)单调递增；
②当1＜x＜a^2+1时，f'(x)＜0，函数f(x)单调递减；
③当x＜1时，f'(x)＞0，函数f(x)单调递增。
而已知函数f(x)在R上单调
所以，a^2+1=1
所以，a=0
【此时，f'(x)=6(x-1)^2≥0，函数f(x)递增。】
2。若函数f(x)在区间[0,2]上的最大值是5，求a的取值范围
由前面的分析知，f'(x)=6*(x-1)*[x-(a^2+1)]
且：
①当x＞a^2+1时，f'(x)＞0，函数f(x)单调递增；
②当1＜x＜a^2+1时，f'(x)＜0，函数f(x)单调递减；
③当x＜1时，f'(x)＞0，函数f(x)单调递增。
所以，在区间[0,2]上：
(1)若a^2+1＞2，即a^2＞1，亦即a＞1或者a＜-1
此时函数f(x)在该区间上的最大值f(x)|max
=f(1)=2x^3-3(2+a^2)x^2+6(1+a^2)x+1
=2-3(2+a^2)+6(1+a^2)+1
=2-6-3a^2+6+6a^2+1
=3a^2+3=5
所以，3a^2=2
则，a^2=2/3＜1
与假设矛盾，不可能。
(2)若1＜a^2+1＜2，即0＜a^2＜1，亦即：-1＜a＜1
此时，函数f(x)在该区间上有：
f(1)=3a^2+3
f(2)=16-12(2+a^2)+12(1+a^2)+1=16-24-12a^2+12+12a^2+1
=5
所以，若3a^2+3≤5，则f(x)在区间上的最大值为5
所以，a^2≤2/3
所以，-√6/3≤a≤√6/3。
收起
