数学解析几何这道题困扰了我好久，
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且A(0,2√2),B(0,-2√2),S△ABC=2√2/3，动点P的轨迹为曲线E，曲线E过点C且满足 |PA|+|PB|的值为常数。
（1）求曲线E的方程
如图
已知△ABC为直角三角形，且AB=4√2，∠BAC=90°，S△ABC=2√2/3
而，S△ABC=(1/2)*AB*AC
即，(1/2)*4√2*AC=2√2/3
所以，AC=1/3
则点C(±1/3,2√2)
已知曲线E过C点，且满足|PA|+|PB|为定值
那么，根据椭圆的定义知道，曲线E是以A、B为焦点，且过点C的曲线
因为点A、B在y轴上，即焦点在y轴上
所以设曲线E为：y^2/a...全部
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且A(0,2√2),B(0,-2√2),S△ABC=2√2/3，动点P的轨迹为曲线E，曲线E过点C且满足 |PA|+|PB|的值为常数。
（1）求曲线E的方程
如图
已知△ABC为直角三角形，且AB=4√2，∠BAC=90°，S△ABC=2√2/3
而，S△ABC=(1/2)*AB*AC
即，(1/2)*4√2*AC=2√2/3
所以，AC=1/3
则点C(±1/3,2√2)
已知曲线E过C点，且满足|PA|+|PB|为定值
那么，根据椭圆的定义知道，曲线E是以A、B为焦点，且过点C的曲线
因为点A、B在y轴上，即焦点在y轴上
所以设曲线E为：y^2/a^2+x^2/b^2=1（a＞b＞0）
其中c=AB/2=2√2
则：a^2=b^2+c^2=b^2+8………………………………………………（1）
又，E经过点C(±1/3,2√2)
所以：8/a^2+(1/9)/b^2=1……………………………………………（2）
联立(1)(2)解得：a^2=9，b^2=1
所以，曲线E的方程为：x^2+(y^2/9)=1
（2）试问是否存在直线l,使l与曲线方程E交于不同的两点M,N,且线段MN恰被直线X=-1/2平分？若存在？求出l的斜率的取值范围；若不存在，请说明理由。
很显然，由椭圆的对称性知，直线L的斜率不可能为零（此时直线平行于x轴，那么它与椭圆的两个交点M、N就关于y轴对称）；直线L的斜率也一定存在（若不存在，此时直线与y轴平行，那么它与椭圆的两个交点M、N就关于x轴对称。
当然，如果认为直线x=-1/2与椭圆的交点也是被x=-1/2平分的话，也可以认为是成立的。
）
所以，不妨设直线L方程为：y=kx+b
联立椭圆与直线方程有：x^2+(y^2/9)=1，y=kx+b
===> 9x^2+y^2-9=0，y=kx+b
===> 9x^2+(kx+b)^2-9=0
===> 9x^2+k^2x^2+2kbx+b^2-9=0
===> (k^2+9)x^2+2kbx+(b^2-9)=0…………………………………（3）
因为直线与椭圆有M、N两个交点，即说明上述一元二次方程有两个相异的实数根，所以：
△=b^2-4ac=(2kb)^2-4(k^2+9)(b^2-9)＞0
===> 4k^2b^2-4(k^2b^2-9k^2+9b^2-81)＞0
===> k^2b^2-k^2b^2+9k^2-9b^2+81＞0
===> k^2＞b^2-9……………………………………………………（4）
又，由(3)得到：x1+x2=-2kb/(k^2+9)
所以，MN的中点横坐标为X=(x1+x2)/2=-kb/(k^2+9)
已知MN被直线x=-1/2平分，所以MN中点在x=-1/2上
所以：-kb/(k^2+9)=-1/2
===> k^2+9=2kb
===> b=(k^2+9)/2k…………………………………………………（5）
联立(4)(5)就有：k^2+9＞[(k^2+9)/2k]^2
===> k^2+9＞(k^2+9)^2/(4k^2)
===> 4k^2*(k^2+9)＞k^4+18k^2+81
===> 4k^4+36k^2-k^4-18k^2-81＞0
===> 3k^4+18k^2-81＞0
===> k^4+6k^2-27＞0
===> (k^2+9)(k^2-3)＞0
===> k^2-3＞0
所以，k＞√3，或者k＜-√3。收起
