P是边长为a的正三角形ABC外一点

1)DE=DA; 2)平面BDM垂直平面ECA; 3)平面DEA垂直平面ECA

三角形ABC为正三角形,EC垂直平面ABC,BD//CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点,求证 1)DE=DA; 设正△ABC的边长为2a，那么，EC=2a，DB=a 取EC中点F，连接BF 那么，CF=a 所以，CF=BD=a 又，EC⊥面ABC，BD//CE 所以，BD⊥面ABC 所以，四边形BCFD为矩形 那么，DF=BC=2a 所以，在Rt△ABD和Rt△DFE中，根据勾股定理就有： DA^2=AB^2+BD^2=(2a)^2+a^2=5a^2 DE^2=DF^2+EF^2=(2a)^2+a^2=5a^2 所以，DA=DE=√5a 2)平面BDM垂直平面ECA; 取AC中点N...全部

  三角形ABC为正三角形,EC垂直平面ABC,BD//CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点,求证 1)DE=DA; 设正△ABC的边长为2a，那么，EC=2a，DB=a 取EC中点F，连接BF 那么，CF=a 所以，CF=BD=a 又，EC⊥面ABC，BD//CE 所以，BD⊥面ABC 所以，四边形BCFD为矩形 那么，DF=BC=2a 所以，在Rt△ABD和Rt△DFE中，根据勾股定理就有： DA^2=AB^2+BD^2=(2a)^2+a^2=5a^2 DE^2=DF^2+EF^2=(2a)^2+a^2=5a^2 所以，DA=DE=√5a 2)平面BDM垂直平面ECA; 取AC中点N，连接BN、MN 因为△ABC为正三角形，所以：BN⊥AC 又，M是AE中点 所以，MN是△ACE的中位线 所以，MN//CE 而，CE⊥面ABC 所以，MN⊥面ABC 所以，MN⊥AC 所以，AC⊥面BDMN 而，AC∈面ACE 所以，面BDM⊥面ACE 3)平面DEA垂直平面ECA 连接CM、CD 因为EC⊥面ABC，所以，△ACE为直角三角形 又，CE=CA 所以，△ACE为等腰直角三角形 而，M为AE中点 所以，CM⊥AE，且CM=AE/2 在Rt△ACE中，AC=CE=2a 所以，AE=2√2a 所以，CM=AE/2=√2a 且，AM=EM=√2a 由(1)的证明知道：DE=DA=√5a 所以，△DAE为等腰三角形 而，M为AE中点 所以，DM⊥AE 所以，△DME为直角三角形 所以，DM^2=DE^2-ME^2=(√5a)^2-(√2a)^2=3a^2 且，∠DMC即为面DAE和面CAE所成的角 在Rt△DBC中，由勾股定理有：DC^2=DB^2+BC^2=a^2+(2a)^2=5a^2 所以，在△DMC中，就有： CM^2+DM^2=(√2a)^2+3a^2=5a^2=DC^2 所以，△DMC为直角三角形 所以，面DAE⊥面CAE。
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