高中数学竞赛题设x,y,z∈R+
证明一 (利用三角形嵌入不等式)注意到恒等式：
tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1,
令x=tan(A/2),y=tan(B/2),z=tan(C/2),其中A,B,C是三角形的内角。 则
(*)[(x^2-1)+(y^2-1)+(z^2-1)]+4[1/(x^2+1)+1/(y^2+1)+1/(z^2+1)]>=7
x^2+y^2+z^2+4[1/(x^2+1)+1/(y^2+1)+1/(z^2+1)]>=10
(tan(A/2))^2+(tan(B/2))^2+(tan(C/2))^2+4[(cos(A/2))^2...全部
证明一 (利用三角形嵌入不等式)注意到恒等式：
tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1,
令x=tan(A/2),y=tan(B/2),z=tan(C/2),其中A,B,C是三角形的内角。
则
(*)[(x^2-1)+(y^2-1)+(z^2-1)]+4[1/(x^2+1)+1/(y^2+1)+1/(z^2+1)]>=7
x^2+y^2+z^2+4[1/(x^2+1)+1/(y^2+1)+1/(z^2+1)]>=10
(tan(A/2))^2+(tan(B/2))^2+(tan(C/2))^2+4[(cos(A/2))^2+(cos(B/2))^2+(cos(C/2))^2]>=10
(tan(A/2))^2+(tan(B/2))^2+(tan(C/2))^2 +2(cosA+cosB+cosC)>=4
(tan(A/2))^2+(tan(B/2))^2+(tan(C/2))^2 +2(1+4sian(A/2)sin(B/2)sin(C/2))>=4
(tan(A/2))^2+(tan(B/2))^2+(tan(C/2)^2>=2-8sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) (1-1)
(1-1)就是Garfunkel-Bankoff不等式 (1983年)
下面证明(1-1)。
由三角形嵌入不等式，得
(tan(A/2))^2+(tan(B/2))^2+(tan(C/2)^2>=2tan(B/2)tan(C/2)cosA+2tan(C/2)tan(A/2)cosB+2tan(A/2)tan(B/2)cosC
再注意到恒等式:
2tan(B/2)tan(C/2)cosA+2tan(C/2)tan(A/2)cosB+2tan(A/2)tan(B/2)cosC=2-8sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
即知不等式(1-1)成立。
证明二 (s-R-r方法)令x=tan(A/2),y=tan(B/2),z=tan(C/2),其中A,B,C是三角形的内角。则
(*)(x+y+z)^2+4[1/(x^2+1)+1/(y^2+1)+1/(z^+1)]>=12
[tan(A/2)+tan(B/2)+tan(C/2)]^2+4[(cos(A/2))^2+(cos(B/2))^2+(cos(C/2))^2]>=12,
即[tan(A/2)+tan(B/2)+tan(C/2)]^2+2(cosA+cosB+cosC)>=6 (2-1)
由已知恒等式：tan(A/2)+tan(B/2)+tan(C/2)=(4R+r)/s,cosA+cosB+cosC=1+r/R知,
(2-1)[(4R+r)/s]^2+2(1+r/R)>=6,
[(4R+r)/s]^2+2r/R>=4
s^2=2r,s^2=2(R-2r)[ 2R^2+10Rr-r^2+2(R-2r) √(R^2-2Rr)]
(R-2r)(8R^2-12Rr+r^2)>=4(2R-r)(R-2r)√(R^2-2Rr)
(R-2r)^2*(8R^2-12Rr+r^2)^2>=16R(2R-r)^2*(R-2r)^3
(R-2r)^2*(12R^2r^2+8Rr^3+R^4)>=0
最后一个不等式显然成立,所以不等式(2-3)成立。
下面给出(*)的一个最后再回到代数不等式的证明。
证明三 (拆分方法)令x=tan(A/2),y=tan(B/2),z=tan(C/2),其中A,B,C是三角形的内角。则
(*)(tan(A/2))^2+(tan(B/2))^2+(tan(C/2))^2 >=2-8sian(A/2)sin(B/2)sin(C/2) (1-1)
再作拉维代换：u=s-a,v=s-b,w=s-c,(其中s=(a+b+c)/2)
则由tan(A/2)= √((s-b)(s-c))/(s(s-a))],sin(A/2)=√((s-b)(s-c))/(bc))]等知
(1-1)vw/[u(u+v+w)]+wu/[v(u+v+w)]+uv/[w(u+v+w)]z>=2-8uvw/(u+v)(v+w)(w+u) (3-1)
由(3-1)的全对称性，不妨设u>=v>=w,则
(3-1)u^2[(u^2-vw)(v+w)+u(v^2+w^2)](v-w)^2+v^2w^2(v+w)(u-v)(u-w)>=0。
(3-2)
(3-2)式显然成立。因此不等式(*)成立。
注：也可用SOS方法证明(3-1)。
。收起
