设向量组α1，α2，。。。αs的秩为r1
证明：（1）因为向量组α1，α2，。。。αs,β1，β2，。。。βr的秩为r3，所以在α1，α2，。。。αs,β1，β2，。。。βr中有r3个向量使得：α1，α2，。。。αs,β1，β2，。。 。βr中的任意一个向量都可以由它们线性表示。特别地α1，α2，。。。αs中的任意一个向量都可以由它们线性表示。注意到α1，α2，。。。αs的秩为r1。可得r1<=r3。通理 r2<=r3。于是 max{r1，r2}小于等于r3
（2）因为向量组α1，α2，。 。。αs的秩为r1，所以在α1，α2，。。。αs中有r1个向量使得：α1，α2，。。。αs中的任意一个向量都可以由它们线性表示。又因为向量...全部
证明：（1）因为向量组α1，α2，。。。αs,β1，β2，。。。βr的秩为r3，所以在α1，α2，。。。αs,β1，β2，。。。βr中有r3个向量使得：α1，α2，。。。αs,β1，β2，。。
。βr中的任意一个向量都可以由它们线性表示。特别地α1，α2，。。。αs中的任意一个向量都可以由它们线性表示。注意到α1，α2，。。。αs的秩为r1。可得r1<=r3。通理 r2<=r3。于是 max{r1，r2}小于等于r3
（2）因为向量组α1，α2，。
。。αs的秩为r1，所以在α1，α2，。。。αs中有r1个向量使得：α1，α2，。。。αs中的任意一个向量都可以由它们线性表示。又因为向量组β1，β2，。。。βr的秩为r2，所以在β1，β2，。
。。βr中有r2个向量使得：β1，β2，。。。βr中的任意一个向量都可以由它们线性表示。
于是α1，α2，。。。αs,β1，β2，。。。βr中的任意一向量可由r1+r2个向量线性表示。注意到向量组α1，α2，。
。。αs,β1，β2，。。。βr的秩为r3,所以r3<=r1+r2。收起
