设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a不等于0)中的a,b,c均为整数,且f(0),f(1)均为奇数求证:方程f(x)=0无整数根。
f0=c=奇数
f1=a+b+c=奇数
反证法:设定有整数根
1:假设是奇数:根是2n+1
fx=f(2n+1)=a(4nn+4n+1)+b(2n+1)+c
=4ann+(4a+2b)n+(a+b+c)
=偶+偶+奇
恒不等于0,不成立
2:假设根是偶数,2n
fx=f2n=4ann+2bn+c
=偶+偶+奇
恒不等于0,不成立
所以假设不成立,无整数根
。
证明:
因为f(1)f(0)都是奇数,a,b,c均为整数,且a不等于0,所以c是奇数a+b+c也是奇数,所以a+b为偶数
有两种可能:1`a是偶数 b是偶数
2`a是奇数 b是奇数
要使f(x)=0有整数根,既ax^2+bx+c=0,既ax^2+bx=-c
因为c是奇数,则ax^2+bx也是奇数
如x为奇数,则x^2也是奇数,如x为偶数,则x^2也是偶数
只有 :奇数+偶数=奇数
且a与b同奇同偶,所以ax^2+bx不可能是奇数,
所以ax^2+bx=-c不成立,所以f(x)=0无整数根
证毕。
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假设f(x)=0有整数根t
由f(0)=c, f(1)=a+b+c 都是奇数,得c是奇数,a+b是偶数
若a,b是偶数,at^2+bt是偶数,at^2+bt+c是奇数,这与at^2+bt+c=0矛盾
若a,b是奇数,若t是奇数,at^2+bt+c是奇数,这与at^2+bt+c=0矛盾
若t是偶数,at^2+bt是偶数,at^2+bt+c是奇数,这与at^2+bt+c=0矛盾
方程f(x)=0无整数根。
这是一个问题我需要思考