怎样证明一个数的立方与这个数的2被之和能被3整除?
对任意整数n，往证n^3+2n可以被3整除。
n只可能有如下三种形式：3k,3k+1,3k-1（其中k为整数）。
1)n=3k
n^3+2n=n(n^2+2)=3k(n^2+2)可以被3整除。
2)n=3k+1
n^3+2n=n(n^2+2)=n((3k+1)^2+2)=n(9k^2+6k+1+2)
=3n(3k^2+2k+1)可以被3整除。
3)n=3k-1
n^3+2n=n(n^2+2)=n((3k-1)^2+2)=n(9k^2-6k+1+2)
=3n(3k^2-2k+1)可以被3整除。
于是对任意整数n，n^3+2n可以被3整除。
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用同余的...全部
对任意整数n，往证n^3+2n可以被3整除。
n只可能有如下三种形式：3k,3k+1,3k-1（其中k为整数）。
1)n=3k
n^3+2n=n(n^2+2)=3k(n^2+2)可以被3整除。
2)n=3k+1
n^3+2n=n(n^2+2)=n((3k+1)^2+2)=n(9k^2+6k+1+2)
=3n(3k^2+2k+1)可以被3整除。
3)n=3k-1
n^3+2n=n(n^2+2)=n((3k-1)^2+2)=n(9k^2-6k+1+2)
=3n(3k^2-2k+1)可以被3整除。
于是对任意整数n，n^3+2n可以被3整除。
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用同余的知识理解起来更简单。
n ≡ 0,±1 (mod 3), (n∈Z)
1)n ≡ 0 (mod 3)
n^3+2n ≡ n(n^2+2) ≡ 0(n^2+2) ≡ 0 (mod 3)
2)n ≡ ±1 (mod 3)
n^3+2n ≡ n(n^2+2) ≡ n((±1)^2+2) ≡ 3n ≡ 0 (mod 3)
于是n^3+2n ≡ 0 (mod 3)。收起
