8.(1)f(x+△x,y+△y)-f(x,y+△y)

     《高 等 数 学》 课 程 学 习 指 导 资 料 （下） 编写 廖华奎 适用专业：理、工、管各专业 适用层次：专科（业余） 四 川 大 学 网 络 教 育 学 院 二00五年九月 《高等数学》课程学习指导资料（下） 编写：廖华奎 修改：杨志和 本课程学习指导资料根据该课程教学大纲的要求，参照现行采用教材《高等数学（一）微积分》（高汝熹主编，武汉大学出版社，2001年）以及课程学习光盘，并结合远程网络业余教学的特点和教学规律进行编写，适用于理、工、管专业专科学生。
     本课程学习指导资料已于2005年9月根据该课程教学大纲的要求略作修改。 《高等数学课程学习指导资料（下）》供第二学期学生学习使用。 第一部分 课程的学习的目的及总体要求 一、 课程的学习目的 高等数学是各学科的理论基础，在各个领域有广泛的应用。
    学好这门课程不仅对学习后继课程是必不可少的，而且对掌握现代各学科理论并应用于实际也是很有必要的。 二、 课程的总体要求 学习本课程应具备高等数学的单元微积分的数学基础（极限与连续，导数与微分，积分），后继的各课程都将用到本课程的内容。
  在学习本课程中应掌握其基本的概念、基本的结论，能应用基本理论解决一些实际问题，为后继课程的学习打下坚实的基础。   第二部分 课程学习的基本要求及重点难点内容分析 第六章 多元函数微积分 1、 本章学习要求 （1）应熟悉的内容 多元函数的概念；二元函数的（二重）极限；二元函数连续的概念； 二元函数的全微分的概念； 二元函数的极值的概念； 二重积分的概念，二重积分的几何意义，二重积分的基本性质。
     （2）应掌握的内容 多元函数的偏导数的概念，偏导数存在与多元函数连续的关系；高阶偏导数的计算，混合偏导数与求导次序无关的条件； 二元函数可微分的必要条件和充分条件，二元函数可微分与偏导数存在之间的关系；利用偏导数计算二元函数的全微分； 二元函数的极值的必要条件和充分条件；二元函数在闭区域上的最大值和最小值的计算。
     （3）应熟练掌握的内容 偏导数的求导法则；多元复合函数的偏导数的求导法则，隐函数的求导法则；二元函数的条件极值的拉格朗日乘数法； 二重积分在直角坐标和极坐标下化为二次积分的计算方法。
   2、 本章重点难点分析 在二元函数f(x,y)的二重极限的概念中特别要注意只有当点P(x,y)以任何方式趋于P0(x0,y0)时，函数f(x,y)都趋向于A，才称函数f(x,y)在点P0(x0,y0)存在极限。
     判断极限 不存在，只要找到某种方式使极限 不存在，或有两种方式使极限 存在，但不相等就可以。 二重极限的运算法则与一元函数的极限的运算法则是相同的。连续函数在某点的极限就等于函数在该点的函数值。
   二重极限不要理解为两个变量先后求极限的方式，两个变量先后求极限的方式称为二次极限，这两种极限一般不能由其中一种极限的存在去判断另一种极限的存在。   偏导数的存在不能保证函数的连续性。
  偏导数的求导法则只要将一元函数的求导法则中的导数换成偏导数就可以了。在混合偏导数存在和连续的条件下，混合偏导数就与求导次序无关。 函数z=f(x,y)在点(x,y)可微是指函数在点处的全增量△z可表示为△z=f(x+△x,y+△y)－f(x,y)=A△x+B△y+ o(ρ)，其中A,B仅与x,y有关而与△x,△y无关，o(ρ)表示关于ρ= 的高阶无穷小量。
    函数的全微分存在的必要条件是函数的偏导数存在。函数可微分的充分条件是偏导数存在且连续。 复合函数的求导要弄清楚哪些是中间变量，哪些是最终变量，在按链式法则求导。隐函数的求导记住公式。
   多元函数在偏导数存在的情况下，在某点有极值的必要条件是偏导数为0。偏导数为0的点称为驻点，驻点不一定都是极值点。   判断驻点为极值点要用极值的充分条件，充分条件要记清楚。
   如果在实际问题中存在最大（或小）值，而依据实际问题得的函数有唯一的驻点，则此驻点就是最大（或小）值点，不需要再用极值的充分条件作判断。 拉格朗日乘数法仅用于条件极值的计算。 二重积分的计算一般步骤是：画出积分区域的草图，根据积分区域和被积函数的情况选择适当的积分次序，定出积分的上下限，最后计算二次积分。
     如果积分区域是圆形或扇形的，常常用极坐标来计算。将直角坐标换成极坐标时，特别要注意面积元素的变化方式。 3、 本章典型例题分析 例1：证明函数f(x,y)= 在(0,0)点的极限不存在。
   分析：对一元函数，极限存在的充要条件是两个单侧极限存在且相等。对多元函数情况则复杂的多，这是因为多维区域的复杂性。  对二元函数f(x,y)，只有当点(x,y)沿任意路径（包括任意直线、各种曲线）趋于(x0,y0)时，函数有同一极限，才称函数f(x,y)在点(x0,y0)处有极限。
  反过来可以用来证明极限不存在。 证明：特别地，当(x,y)沿直线y=x趋于(0,0)时，有 不存在，故函数f(x,y)在(0,0)点极限不存在。   例2：设f(x,y)=(x-y)/(x+y)，求 及 。
   解：当y≠0时，有 故 当x≠0时，有 ，故 当(x,y)沿y =kx(k≠0, k≠-1)趋于(0,0)时，有 ，故 不存在。 例3：通过下面几个例子说明多元函数在一点可微、连续、可导的关系。
    试证明：（1） 在点(0,0)处一阶偏导数存在，但f(x,y)在该点不连续。 （2）z=f(x,y) 在点(0,0)处一阶偏导数存在，但f(x,y)在该点不可微。 （3）z=f(x,y) 在点(0,0)处不可微，但偏导数在该点不连续。
   证明：（1） 当k取不同的值，即(x,y)沿不同的抛物线y=kx2趋于(0,0)时，f(x,y)趋于不同的值，故极限 不存在，从而f(x,y)在点(0,0)不连续。  另一方面，对分段函数f(x,y)在分界点(0,0)处的偏导数，由偏导数的定义可求得， 可见，f(x,y)在点(0,0)处的两个偏导数都存在。
  在表明函数连续并不是偏导数存在的必要条件，或者说偏导数存在不是函数连续的充分条件。 （2）有偏导数定义， 同理可得 ，即f(x,y)在点(0,0)处的两个偏导数都存在。   因为△z=f(0+△x,0+△y)－f(0,0)= 而 所以 可见，在(0,0)点处，△z 不是ρ的高阶无穷小，故f(x,y)在点(0,0)处不可微。
  这表明偏导数存在是函数可微的必要条件，而不是充分条件。 （3） 同理可得 而△z=f(x,y)－f(0,0)= 故 所以，f(x,y)在点(0,0)处可微，且dz=0。  但是 显然 不存在，故f x′(x,y)在点(0,0)处不连续。
  同理可知f y′(x,y)在点(0,0)处也不连续。在表明偏导数连续是函数可微的充分条件，而非必要条件。 例4：设 ，求dz与 。 解： 故 = 例5：已知(axy3-y3cosx)dx+(1+bysinx+3x2y2)dy为某一函数f(x,y)的全微分，求a，b的值。
     分析：结合全微分定义可知 axy3-y2cosx, 1+bysinx+3x2y2。必须建立某些相等关系才可求出，联想到两个二阶混合偏导数相等。 解：由题设有 df(x,y)= dx+ dy=(axy3-y2cosx)dx+(1+bysinx+3x2y2)dy, 即 axy3-y2cosx, 1+bysinx+3x2y2, 3axy2-2ycosx, bycosx+6xy2, 易见 , 均为连续函数，故 = , 所以有3a=6,b=-2，即a=2,b=-2。
     例6：设z=u3v2,u=exsiny,v=x3+y2，求 。 分析：复合函数微分法是本章的重点和难点，本题表达式具体，变量间关系清楚，可直接应用复合函数求偏导数的法则。
   解：由 ，得 3u2v2exsiny+2u3v•3x2=3u2v2exsiny+6u3vx2。   (3u2v2exsiny+6u3vx2) =3 exsiny (u2v2)+ 3u2v2excosy+6 x2 (u3v) =3 exsiny(2uv2 +2u2v )+ 3u2v2excosy+6 x2(3 u2v +u3 ) =3 exsiny(2uv2 excosy+2u2v•2y) + 3u2v2excosy+6 x2(3 u2v excosy+ u3•2y) =3uv2 e2xsin2y+12u2vexy siny+ 3u2v2excosy+18u2v x2excosy+12u3x2y。
     例7：设z=f(2x-y,ysinx)，f具有一阶连续偏导数，求 。 分析：本题是含抽象函数的复合函数求偏导数，一般要设中间变量，可令u=2x-y, v=ysinx。
   解：令u=2x-y, v=ysinx，则z=f(u,v)。 =2f1′+ycosxf2′, 这里，我们用f1′表示f(u,v)对第一个变量u的偏导数。   例8：设方程F(x+(z/y),y+(z/x))=0，求 。
   解法一：（直接法）方程两边对x求偏导数（注意：y看作常数，而z是x的函数），得 解得 同理求得 解法二：（公式法）令g(x,y,z)=F(x+(z/y),y+(z/x)) 则g x′=F1′•1+ F2′•(-z/x2), g y′=F1′•(-z/y2)+ F2′•1, g z′=F1′•(1/y)+F2′•(1/x), 故 解法三：（微分法）对方程两边求微分，得 dF(x+(z/y),y+(z/x))=F1′d(x+(z/y))+F2′d(y+(z/x)) = F1′[dx+(ydz-zdy)/y2]+ F2′[dy+(xdz-zdx)/x2] =(F1′－(z/x2)F2′)dx+(－(z/x2)F1′+F2′)dy+((1/y)F1′+(1/x)F2′)dz=0, 解得dz= + 故 微分法的优点是无须分清自变量与中间变量，可避免因认不清变量性质而犯错误，并且可同时求出所有一阶偏导数。
     例9：某公司可通过电视和报纸两种方式做广告，统计资料表明，销售收入R（万元）与电视广告费用x（万元）、报纸广告费用y（万元）有如下关系： R(x,y)=15+14x+32y-8xy-2x2-10y2 （1）在广告费不限的情况下，求最优广告策略。
   （2）若提供的广告费用为1。  5万元，求相应的最优广告策略。 分析：若可微函数f(x,y)在某区域D内有唯一驻点，且该驻点经判断为极大（小）值点，则可断定其必为f(x,y)在开区域D内的最大（小）值点。
  在求解实际问题的最值时，若从问题的实际意义知道所求问题的最值一定在D的内部取得，而函数在D内只有一个驻点，则可断定该驻点就是所求函数的最值点。   解：（1）利润函数为L(x,y)=R(x,y)-(x+y)=15+13x+31y-8xy-2x2-10y2, 由Lx′=13-8y-4x=0,Ly′=31-8x-20y=0, 得唯一驻点：x =0。
  75（万元），y =1。25（万元），故即(0。75, 1。  25)为极大值点。L (0。75, 1。25)=39。25（万元）， 即：当电视广告费用为0。75万元，报纸广告费用为1。
  25万元时，可获得最大利润39。25万元。 （2）即求在x+y=1。5的条件下，L(x,y)的最大值，作拉格朗日函数 F(x,y,λ)=L(x,y)+λ(x+y－1。  5)=15+13x+31y-8xy-2x2-10y2+λ(x+y－1。
  5), 由Fx′=13-8y-4x+λ=0, Fy′=31-8x-20y+λ=0, Fλ′=x+y－1。5=0, 解得唯一驻点：x=0，y=1。5,故L(0,1。5)=39（万元）为最大值。
    即将1。5万元全部用于报纸广告，可获得最大利润39万元。 例10：计算二重积分 ，D：由y=x,y=1,x=0围成。 分析：计算二重积分的关键是化二重积分为二次积分，其要点是：后积分的变量先定限，且上、下限均为常数，为该变量在区域上的最大变动范围；确定先积分的变量的上下限时，让后积分的变量取一定值（介于上、下限之间），画出一条射线穿透积分区域（直角坐标计算法情形，该穿透线与坐标轴平行且同向），射线与区域边界线交于两点，由该两点确定先积分变量的上、下限，它们一般为后积分变量的函数（积分区域为矩形时，它们也是常数）。
     y 解：画区域图形。D：0≤y≤1,1≤x≤y, 1 y=1 = y=x = = o x 例11：计算二重积分 ,D:x2+y2≤9。
     分析：被积函数含有绝对值符号时，要考虑绝对值内函数的正负范围。可先令被积函数的绝对值为零，得到的曲线一般将积分区域D分成两部分D1,D2，绝对值在D1,D2内函数在上异号，据此在D1,D2上分别将被积函数去绝对值，积分相加即可。
  此外，本题积分区域为圆形，被积函数具有f(x2+y2)形式，故选择极坐标积分法。   解：积分区域为D= D1+D2: D1:0≤x2+y2≤2, D2:20，证明 。