竞赛几何题设O,Q是同心圆，大圆
设O,Q是同心圆，大圆Q的半径为R，小圆O的半径为r，且R=t*r。n边形A1A2…An内接于小圆O，延长AnA1,A1A2…A(n-1)An, 分别交大圆Q于B1,B2,…Bn。记n边形A1A2…An,B1B2…Bn的周长分别为s,p。 求证 p>=ts。
证明 设同心圆O，Q的圆心为P，连结PAi，PBi（i=1，2。。。n)。
在四边形PA1B1B2中，由Ptolemy不等式得:
PA1*B1B2+PB2*A1B1>=PB1*A1B2,
即 r*B1B2+tr*A1B1>=t*r(A1A2+A2*B2)，所以得:
B1B2+t*A1B1>=t*(A1A2+A2B2) ...全部
设O,Q是同心圆，大圆Q的半径为R，小圆O的半径为r，且R=t*r。n边形A1A2…An内接于小圆O，延长AnA1,A1A2…A(n-1)An, 分别交大圆Q于B1,B2,…Bn。记n边形A1A2…An,B1B2…Bn的周长分别为s,p。
求证 p>=ts。
证明 设同心圆O，Q的圆心为P，连结PAi，PBi（i=1，2。。。n)。
在四边形PA1B1B2中，由Ptolemy不等式得:
PA1*B1B2+PB2*A1B1>=PB1*A1B2,
即 r*B1B2+tr*A1B1>=t*r(A1A2+A2*B2)，所以得:
B1B2+t*A1B1>=t*(A1A2+A2B2) (1)
同理可得:
B2B3+t*A2B2>=t*(A2A3+A3B3) (2)
B3B4+t*A3B3>=t*(A3A4+A4B4) (3)
。
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
BnB1+t*AnBn>=t*(AnA1+A1B1) (n)
将上述n个不等式同向相加得:
B1B2+B2B3+。。。BnB1>=t*(A1A2+A2A3+。
。。AnA1)
所以 p>=t*s。
易验证当且仅当n边形A1A2…An是正n边形时等号成立。
。收起
