数学难题急求（高二）
在三角形ABC中，AT是角A平分线，D,E分别在AB,AC上，且BD=CE,若BC,DE中点分别是M,N.用坐标法求证：MN//AT
全部回答
如图：以T为原点，A在-x轴上建立平面直角坐标系
设坐标A(-a,0),B(x1,y1),c(x2,y2),M(s,t),N(s',t')
设AB、AC的斜率分别为1/k、-1/k，BC的斜率为1/m
AB|AC的方程: ±ky=(x+1),即：k^y^=(x+1)
BC方程：my=x，与AB|AC方程联立：k^y^=my+1--->k^y^-my-1=0
y1+y2=m/k^,y1y2=-1/k^
x1+x2=m(y1+y2)=m^/k^
t=(y1+y2)/2=m/(2k^)
∵如图：|BD|=|CE|,又AB、AC所在直线关于x轴对称--->△BDK≌△C'E'L'≌△CEL
设D点坐标为(x1-x',y1-y'),则E点坐标为(x2-x',y2+y')
t'=(y1+y2)/2=t
即：N、M纵坐标相等---->NM∥AT
。
。
。
三角形ABC。
设坐标系：原点O在点A，Y轴为直线AT，点B在第一象限，点C在第二象限。
设，角BAT=角CAT=P，AB=c，AC=b，BD=CE=d
则：角BAX=pai/2 -P；角CAX=pai/2 +P
点B坐标：B[c*cos(pai/2 -P),c*sin(pai/2 -P)]=B[c*sinP,c*cosP]
点C坐标：C[b*cos(pai/2 +P),b*sin(pai/2 +P)]=C[-b*sinP,b*cosP]
点D坐标：D[(c-d)cos(pai/2 -P),(c-b)sin(pai/2 -P)]=D[(c-d)sinP,(c-b)cosP]
点E坐标：E[(c-d)cos(pai/2 +P),(c-b)sin(pai/2 +P)]=E[-(c-d)sinP,(c-b)cosP]
因此，点M坐标：M[(c*sinP-b*sinP)/2,(c*cosP+b*cosP)/2]
点N坐标：N{[(c-d)sinP-(c-d)sinP]/2,[(c-b)cosP+(c-b)cosP]/2}
= N{(c*sinP-b*sinP)/2,[(c-b)cosP+(c-b)cosP]/2}
点M、点N的横坐标相等。
因此：MN||AT 证毕。
因此：MN||AT 证毕。
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